tactic
stringlengths 1
5.59k
| name
stringlengths 1
85
| haveDraft
stringlengths 1
44.5k
| goal
stringlengths 8
62.2k
|
|---|---|---|---|
| smul r x _ hpx =>
|
a
|
x ∈ s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
|
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
x✝ : A
r : R
x : A
hx✝ : x ∈ adjoin R s
hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
⊢ r • x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
|
| smul r x _ hpx =>
|
a
|
x ∈ adjoin R s →
y ∈ adjoin R s →
x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) →
y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x + y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
|
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
x✝ : A
r : R
x : A
hx✝ : x ∈ adjoin R s
hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
⊢ r • x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
|
| smul r x _ hpx =>
|
a
|
0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
|
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
x✝ : A
r : R
x : A
hx✝ : x ∈ adjoin R s
hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
a₁ : _fvar.190498 ∈ adjoin R s →
_fvar.190499 ∈ adjoin R s →
_fvar.190498 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) →
_fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) →
_fvar.190498 + _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
⊢ r • x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
|
| smul r x _ hpx =>
|
a
|
x ∈ adjoin R s →
y ∈ adjoin R s →
x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) →
y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
|
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
x✝ : A
r : R
x : A
hx✝ : x ∈ adjoin R s
hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
a₁ : _fvar.190498 ∈ adjoin R s →
_fvar.190499 ∈ adjoin R s →
_fvar.190498 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) →
_fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) →
_fvar.190498 + _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
a₂ : 0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
⊢ r • x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
|
apply span_le.2 _
|
apply
|
(↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊆ (↑(adjoin R s).toSubmodule : Set A)
|
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
⊢ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ≤ (adjoin R s).toSubmodule
|
apply GaloisConnection.l_bot
|
gc
|
GaloisConnection (adjoin R) SetLike.coe
|
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
⊢ adjoin R ⊥ = ⊥
|
apply GaloisConnection.l_bot
|
u
|
NonUnitalSubalgebra R A → Set A
|
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
gc : GaloisConnection (adjoin R) SetLike.coe
⊢ adjoin R ⊥ = ⊥
|
apply SetLike.coe_injective
|
a
|
(↑(NonUnitalSubalgebra.map f (⨅ i, S i)) : Set B) = (↑(⨅ i, NonUnitalSubalgebra.map f (S i)) : Set B)
|
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : FunLike F A B
inst✝⁵ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
ι : Sort u_2
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : IsScalarTower R B B
inst✝ : SMulCommClass R B B
f : F
hf : Function.Injective (⇑f : A → B)
S : ι → NonUnitalSubalgebra R A
⊢ NonUnitalSubalgebra.map f (⨅ i, S i) = ⨅ i, NonUnitalSubalgebra.map f (S i)
|
NonUnitalSubsemiring.closure_empty,
|
this
|
x ∈ Submodule.span R (↑⊥ : Set A) ↔ x = 0
|
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : A
⊢ x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure ∅) : Set A) ↔ x = 0
|
NonUnitalSubsemiring.coe_bot,
|
this
|
x ∈ Submodule.span R {0} ↔ x = 0
|
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : A
⊢ x ∈ Submodule.span R (↑⊥ : Set A) ↔ x = 0
|
Submodule.span_zero_singleton,
|
this
|
x ∈ ⊥ ↔ x = 0
|
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : A
⊢ x ∈ Submodule.span R {0} ↔ x = 0
|
ext
|
h
|
x✝ ∈ ⊥.toSubmodule ↔ x✝ ∈ ⊥
|
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
⊢ ⊥.toSubmodule = ⊥
|
rw [h]
|
rw
|
x ∈ ⊤
|
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
S : NonUnitalSubalgebra R A
h : S = ⊤
x : A
⊢ x ∈ S
|
h
|
h
|
x ∈ ⊤
|
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
S : NonUnitalSubalgebra R A
h : S = ⊤
x : A
⊢ x ∈ S
|
ext x
|
h
|
x ∈ S ↔ x ∈ ⊤
|
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
S : NonUnitalSubalgebra R A
h : ∀ (x : A), x ∈ S
⊢ S = ⊤
|
ext
|
h
|
x✝ ∈ ⊤.prod ⊤ ↔ x✝ ∈ ⊤
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : IsScalarTower R B B
inst✝ : SMulCommClass R B B
⊢ ⊤.prod ⊤ = ⊤
|
subst hT
|
subst
|
↥(iSup K) →ₙₐ[R] B
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
T : NonUnitalSubalgebra R A
hT : T = iSup K
⊢ ↥T →ₙₐ[R] B
|
simp only
|
simp
|
(f i : ↥(K i) → B) ⟨x, sorry⟩ = (f j : ↥(K j) → B) ⟨x, sorry⟩
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i j : ι
x : A
hxi : x ∈ (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) i
hxj : x ∈ (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) j
k : ι
hik : (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (K i) (K k)
hjk : (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (K j) (K k)
⊢ (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) i ⟨x, hxi⟩ = (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) j ⟨x, hxj⟩
|
rw [hf i k hik, hf j k hjk]
|
rw
|
((f k).comp (inclusion sorry) : ↥(K i) → B) ⟨x, sorry⟩ = ((f k).comp (inclusion sorry) : ↥(K j) → B) ⟨x, sorry⟩
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i j : ι
x : A
hxi : x ∈ (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) i
hxj : x ∈ (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) j
k : ι
hik : (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (K i) (K k)
hjk : (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (K j) (K k)
⊢ (f i : ↥(K i) → B) ⟨x, hxi⟩ = (f j : ↥(K j) → B) ⟨x, hxj⟩
|
hf i k hik,
|
hf
|
((f k).comp (inclusion sorry) : ↥(K i) → B) ⟨x, sorry⟩ = (f j : ↥(K j) → B) ⟨x, sorry⟩
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i j : ι
x : A
hxi : x ∈ (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) i
hxj : x ∈ (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) j
k : ι
hik : (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (K i) (K k)
hjk : (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (K j) (K k)
⊢ (f i : ↥(K i) → B) ⟨x, hxi⟩ = (f j : ↥(K j) → B) ⟨x, hxj⟩
|
hf j k hjk
|
hf
|
((f k).comp (inclusion sorry) : ↥(K i) → B) ⟨x, sorry⟩ = ((f k).comp (inclusion sorry) : ↥(K j) → B) ⟨x, sorry⟩
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i j : ι
x : A
hxi : x ∈ (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) i
hxj : x ∈ (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) j
k : ι
hik : (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (K i) (K k)
hjk : (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (K j) (K k)
⊢ ((f k).comp (inclusion hik) : ↥(K i) → B) ⟨x, hxi⟩ = (f j : ↥(K j) → B) ⟨x, hxj⟩
|
coe_iSup_of_directed dir
|
coe_iSup_of_directed
|
⋃ i, (↑(K i) : Set A) ⊆ ⋃ i, (↑(K i) : Set A)
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
⊢ (↑(iSup K) : Set A) ⊆ ⋃ i, (↑(K i) : Set A)
|
dsimp
|
dsimp
|
∀ (x : ↥(iSup K)),
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) sorry (↑(iSup K) : Set A) sorry (r • x) =
r • Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) sorry (↑(iSup K) : Set A) sorry x
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
r : R
⊢ ∀ (x : ↥(iSup K)),
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ (r • x) =
(MonoidHom.id R : R → R) r •
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ x
|
apply Set.iUnionLift_unary (coe_iSup_of_directed dir) _ (fun _ x => r • x)
(fun _ _ => rfl)
|
h
|
∀ (i : ι) (x : (↑(↑(K i) : Set A) : Type v)), (f i : ↥(K i) → B) (r • x) = r • (f i : ↥(K i) → B) x
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
r : R
⊢ ∀ (x : ↥(iSup K)),
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ (r • x) =
r • Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ x
|
apply Set.iUnionLift_binary (coe_iSup_of_directed dir) dir _ (fun _ => (· + ·))
|
hopi
|
∀ (i : ι) (x y : (↑(↑(K i) : Set A) : Type v)),
Set.inclusion sorry (x + y) = Set.inclusion sorry x + Set.inclusion sorry y
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
⊢ ∀ (x y : ↥(iSup K)),
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ (x + y) =
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ x +
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ y
|
apply Set.iUnionLift_binary (coe_iSup_of_directed dir) dir _ (fun _ => (· + ·))
|
h
|
∀ (i : ι) (x y : (↑(↑(K i) : Set A) : Type v)), (f i : ↥(K i) → B) (x + y) = (f i : ↥(K i) → B) x + (f i : ↥(K i) → B) y
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : (↑(↑(K i) : Set A) : Type v)), Set.inclusion ⋯ (x + y) = Set.inclusion ⋯ x + Set.inclusion ⋯ y
⊢ ∀ (x y : ↥(iSup K)),
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ (x + y) =
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ x +
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ y
|
apply Set.iUnionLift_binary (coe_iSup_of_directed dir) dir _ (fun _ => (· * ·))
|
hopi
|
∀ (i : ι) (x y : (↑(↑(K i) : Set A) : Type v)),
Set.inclusion sorry (x * y) = Set.inclusion sorry x * Set.inclusion sorry y
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
⊢ ∀ (x y : ↥(iSup K)),
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ (x * y) =
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ x *
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ y
|
apply Set.iUnionLift_binary (coe_iSup_of_directed dir) dir _ (fun _ => (· * ·))
|
h
|
∀ (i : ι) (x y : (↑(↑(K i) : Set A) : Type v)), (f i : ↥(K i) → B) (x * y) = (f i : ↥(K i) → B) x * (f i : ↥(K i) → B) y
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : (↑(↑(K i) : Set A) : Type v)), Set.inclusion ⋯ (x * y) = Set.inclusion ⋯ x * Set.inclusion ⋯ y
⊢ ∀ (x y : ↥(iSup K)),
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ (x * y) =
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ x *
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯ y
|
subst T
|
subst
|
K i ≤ iSup K →
(iSupLift K sorry f sorry (iSup K) sorry : ↥(iSup K) → B) ((inclusion sorry : ↥(K i) → ↥(iSup K)) x) =
(f i : ↥(K i) → B) x
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
T : NonUnitalSubalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
x : ↥(K i)
h : K i ≤ T
⊢ (iSupLift K dir f hf T hT : ↥T → B) ((inclusion h : ↥(K i) → ↥T) x) = (f i : ↥(K i) → B) x
|
dsimp [iSupLift]
|
dsimp
|
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) sorry (↑(iSup K) : Set A) sorry
((inclusion sorry : ↥(K i) → ↥(iSup K)) x) =
(f i : ↥(K i) → B) x
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(K i)
h : K i ≤ iSup K
⊢ (iSupLift K dir f hf (iSup K) ⋯ : ↥(iSup K) → B) ((inclusion h : ↥(K i) → ↥(iSup K)) x) = (f i : ↥(K i) → B) x
|
apply Set.iUnionLift_inclusion
|
h
|
(↑(K i) : Set A) ⊆ (↑(iSup K) : Set A)
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(K i)
h : K i ≤ iSup K
⊢ Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) ⋯ (↑(iSup K) : Set A) ⋯
((inclusion h : ↥(K i) → ↥(iSup K)) x) =
(f i : ↥(K i) → B) x
|
ext
|
h
|
((iSupLift K sorry f sorry T sorry).comp (inclusion sorry) : ↥(K i) → B) x✝ = (f i : ↥(K i) → B) x✝
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
T : NonUnitalSubalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
h : K i ≤ T
⊢ (iSupLift K dir f hf T hT).comp (inclusion h) = f i
|
subst hT
|
subst
|
(↑x : A) ∈ iSup K → (iSupLift K sorry f sorry (iSup K) sorry : ↥(iSup K) → B) ⟨(↑x : A), sorry⟩ = (f i : ↥(K i) → B) x
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
T : NonUnitalSubalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
x : ↥(K i)
hx : (↑x : A) ∈ T
⊢ (iSupLift K dir f hf T hT : ↥T → B) ⟨(↑x : A), hx⟩ = (f i : ↥(K i) → B) x
|
dsimp [iSupLift]
|
dsimp
|
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) sorry (↑(iSup K) : Set A) sorry
⟨(↑x : A), sorry⟩ =
(f i : ↥(K i) → B) x
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(K i)
hx : (↑x : A) ∈ iSup K
⊢ (iSupLift K dir f hf (iSup K) ⋯ : ↥(iSup K) → B) ⟨(↑x : A), hx⟩ = (f i : ↥(K i) → B) x
|
subst hT
|
subst
|
(↑x : A) ∈ K i → (iSupLift K sorry f sorry (iSup K) sorry : ↥(iSup K) → B) x = (f i : ↥(K i) → B) ⟨(↑x : A), sorry⟩
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
T : NonUnitalSubalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
x : ↥T
hx : (↑x : A) ∈ K i
⊢ (iSupLift K dir f hf T hT : ↥T → B) x = (f i : ↥(K i) → B) ⟨(↑x : A), hx⟩
|
dsimp [iSupLift]
|
dsimp
|
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) sorry (↑(iSup K) : Set A) sorry x =
(f i : ↥(K i) → B) ⟨(↑x : A), sorry⟩
|
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(iSup K)
hx : (↑x : A) ∈ K i
⊢ (iSupLift K dir f hf (iSup K) ⋯ : ↥(iSup K) → B) x = (f i : ↥(K i) → B) ⟨(↑x : A), hx⟩
|
mul_smul_comm,
|
this
|
r • a * b = r • (b * a)
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b : A
⊢ r • a * b = b * r • a
|
smul_mul_assoc,
|
this
|
r • (a * b) = r • (b * a)
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b : A
⊢ r • a * b = r • (b * a)
|
ha.comm
|
this
|
r • (b * a) = r • (b * a)
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b : A
⊢ r • (a * b) = r • (b * a)
|
smul_mul_assoc,
|
this
|
r • (a * (b * c)) = r • a * b * c
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • a * (b * c) = r • a * b * c
|
smul_mul_assoc,
|
this
|
r • (a * (b * c)) = r • (a * b) * c
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (a * (b * c)) = r • a * b * c
|
smul_mul_assoc,
|
this
|
r • (a * (b * c)) = r • (a * b * c)
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (a * (b * c)) = r • (a * b) * c
|
ha.left_assoc
|
this
|
r • (a * b * c) = r • (a * b * c)
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (a * (b * c)) = r • (a * b * c)
|
mul_smul_comm,
|
this
|
r • (b * a) * c = b * (r • a * c)
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ b * r • a * c = b * (r • a * c)
|
smul_mul_assoc,
|
this
|
r • (b * a * c) = b * (r • a * c)
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (b * a) * c = b * (r • a * c)
|
smul_mul_assoc,
|
this
|
r • (b * a * c) = b * r • (a * c)
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (b * a * c) = b * (r • a * c)
|
mul_smul_comm,
|
this
|
r • (b * a * c) = r • (b * (a * c))
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (b * a * c) = b * r • (a * c)
|
ha.mid_assoc
|
this
|
r • (b * (a * c)) = r • (b * (a * c))
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (b * a * c) = r • (b * (a * c))
|
mul_smul_comm,
|
this
|
r • (b * c * a) = b * (c * r • a)
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ b * c * r • a = b * (c * r • a)
|
mul_smul_comm,
|
this
|
r • (b * c * a) = b * r • (c * a)
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (b * c * a) = b * (c * r • a)
|
mul_smul_comm,
|
this
|
r • (b * c * a) = r • (b * (c * a))
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (b * c * a) = b * r • (c * a)
|
ha.right_assoc
|
this
|
r • (b * (c * a)) = r • (b * (c * a))
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (b * c * a) = r • (b * (c * a))
|
mul_smul_comm,
|
this
|
r • (x * a) = r • a * x
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
r : R
a : A
ha : a ∈ s.centralizer
x : A
hx : x ∈ s
⊢ x * r • a = r • a * x
|
smul_mul_assoc,
|
this
|
r • (x * a) = r • (a * x)
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
r : R
a : A
ha : a ∈ s.centralizer
x : A
hx : x ∈ s
⊢ r • (x * a) = r • a * x
|
ha x hx
|
ha
|
r • (a * x) = r • (a * x)
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
r : R
a : A
ha : a ∈ s.centralizer
x : A
hx : x ∈ s
⊢ r • (x * a) = r • (a * x)
|
have : a ∈ centralizer R s := by simpa only [Commute.symm_iff (a := a)] using h
|
have
|
a ∈ centralizer R s
|
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
s : Set A
hb : b ∈ adjoin R s
h : ∀ b ∈ s, Commute a b
⊢ Commute a b
|
set r := Ioc (c - #s) c
|
set
|
∑ x ∈ s, x ≤ ∑ x ∈ r, x
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
⊢ ∑ x ∈ s, x ≤ ∑ x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c, x
|
rw [← sum_inter_add_sum_diff s r _]
|
rw
|
∑ x ∈ s ∩ r, x + ∑ x ∈ s \ r, x ≤ ∑ x ∈ s ∩ r, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ))
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ s, x ≤ ∑ x ∈ s ∩ r, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ))
|
← sum_inter_add_sum_diff s r _
|
sum_inter_add_sum_diff
|
∑ x ∈ s ∩ r, x + ∑ x ∈ s \ r, x ≤ ∑ x ∈ s ∩ r, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ))
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ s, x ≤ ∑ x ∈ s ∩ r, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ))
|
gcongr
|
bc
|
∑ x ∈ s \ r, x ≤ #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ))
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ s ∩ r, x + ∑ x ∈ s \ r, x ≤ ∑ x ∈ s ∩ r, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ))
|
refine sum_le_card_nsmul _ _ _ fun x mx ↦ ?_
|
bc
|
x ∈ s \ r → x ≤ c - (↑(#s) : ℤ)
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ s \ r, x ≤ #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ))
|
rw [mem_sdiff, mem_Ioc, not_and'] at mx
|
bc
|
x ∈ s ∧ (x ≤ c → ¬c - (↑(#s) : ℤ) < x)
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ s \ r
⊢ x ≤ c - (↑(#s) : ℤ)
|
mem_sdiff,
|
bc
|
x ∈ s ∧ x ∉ r
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ s \ r
⊢ x ≤ c - (↑(#s) : ℤ)
|
mem_Ioc,
|
bc
|
x ∈ s ∧ ¬(c - (↑(#s) : ℤ) < x ∧ x ≤ c)
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ s ∧ x ∉ r
⊢ x ≤ c - (↑(#s) : ℤ)
|
not_and'
|
bc
|
x ∈ s ∧ (x ≤ c → ¬c - (↑(#s) : ℤ) < x)
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ s ∧ ¬(c - (↑(#s) : ℤ) < x ∧ x ≤ c)
⊢ x ≤ c - (↑(#s) : ℤ)
|
have := mx.2 (hs _ mx.1)
|
bc
|
¬c - (↑(#s) : ℤ) < x
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ s ∧ (x ≤ c → ¬c - (↑(#s) : ℤ) < x)
⊢ x ≤ c - (↑(#s) : ℤ)
|
rw [inter_comm, card_sdiff_comm]
|
rw
|
#s = #r
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ s ∩ r, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) = ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ))
|
inter_comm,
|
this
|
∑ x ∈ r ∩ s, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) = ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ))
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ s ∩ r, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) = ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ))
|
card_sdiff_comm
|
card_sdiff_comm
|
∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) = ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ))
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) = ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ))
|
card_sdiff_comm
|
card_sdiff_comm
|
#s = #r
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
card_sdiff_comm : ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) = ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ))
⊢ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) = ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ))
|
Int.card_Ioc,
|
this
|
#s = (c - (c - (↑(#s) : ℤ))).toNat
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ #s = #r
|
sub_sub_cancel,
|
this
|
#s = (↑(#s) : ℤ).toNat
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ #s = (c - (c - (↑(#s) : ℤ))).toNat
|
Int.toNat_natCast
|
this
|
#s = #s
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ #s = (↑(#s) : ℤ).toNat
|
rw [← sum_inter_add_sum_diff r s _]
|
rw
|
∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + ∑ x ∈ r \ s, x
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) ≤ ∑ x ∈ r, x
|
← sum_inter_add_sum_diff r s _
|
sum_inter_add_sum_diff
|
∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + ∑ x ∈ r \ s, x
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) ≤ ∑ x ∈ r, x
|
gcongr
|
bc
|
#(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) ≤ ∑ x ∈ r \ s, x
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + ∑ x ∈ r \ s, x
|
refine card_nsmul_le_sum _ _ _ fun x mx ↦ ?_
|
bc
|
x ∈ r \ s → c - (↑(#s) : ℤ) ≤ x
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) ≤ ∑ x ∈ r \ s, x
|
rw [mem_sdiff, mem_Ioc] at mx
|
bc
|
(c - (↑(#s) : ℤ) < x ∧ x ≤ c) ∧ x ∉ s
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ r \ s
⊢ c - (↑(#s) : ℤ) ≤ x
|
mem_sdiff,
|
bc
|
x ∈ r ∧ x ∉ s
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ r \ s
⊢ c - (↑(#s) : ℤ) ≤ x
|
mem_Ioc
|
bc
|
(c - (↑(#s) : ℤ) < x ∧ x ≤ c) ∧ x ∉ s
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ r ∧ x ∉ s
⊢ c - (↑(#s) : ℤ) ≤ x
|
convert sum_le_sum_Ioc hs
|
h
|
∑ n ∈ range #s, (c - (↑n : ℤ)) = ∑ x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c, x
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
⊢ ∑ x ∈ s, x ≤ ∑ n ∈ range #s, (c - (↑n : ℤ))
|
refine sum_nbij (c - ·) ?_ ?_ ?_ (fun _ _ ↦ rfl)
|
h
|
∀ a ∈ range #s, (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) a ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
⊢ ∑ n ∈ range #s, (c - (↑n : ℤ)) = ∑ x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c, x
|
refine sum_nbij (c - ·) ?_ ?_ ?_ (fun _ _ ↦ rfl)
|
h
|
Set.InjOn (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) (↑(range #s) : Set ℕ)
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
h : ∀ a ∈ range #s, (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) a ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ n ∈ range #s, (c - (↑n : ℤ)) = ∑ x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c, x
|
refine sum_nbij (c - ·) ?_ ?_ ?_ (fun _ _ ↦ rfl)
|
h
|
Set.SurjOn (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) (↑(range #s) : Set ℕ) (↑(Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c) : Set ℤ)
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
h : ∀ a ∈ range #s, (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) a ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
h₁ : Set.InjOn (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) (↑(range #s) : Set ℕ)
⊢ ∑ n ∈ range #s, (c - (↑n : ℤ)) = ∑ x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c, x
|
rw [mem_Ioc]
|
h
|
c - (↑(#s) : ℤ) < (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) x ∧ (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) x ≤ c
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℕ
mx : x ∈ range #s
⊢ (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
|
mem_Ioc
|
h
|
c - (↑(#s) : ℤ) < (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) x ∧ (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) x ≤ c
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℕ
mx : x ∈ range #s
⊢ (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
|
rw [mem_range] at mx
|
h
|
x < #s
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℕ
mx : x ∈ range #s
⊢ c - (↑(#s) : ℤ) < c - (↑x : ℤ) ∧ c - (↑x : ℤ) ≤ c
|
mem_range
|
h
|
x < #s
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℕ
mx : x ∈ range #s
⊢ c - (↑(#s) : ℤ) < c - (↑x : ℤ) ∧ c - (↑x : ℤ) ≤ c
|
simp_rw [coe_range, Set.mem_image, Set.mem_Iio]
|
h
|
∃ x_1 < #s, c - (↑x_1 : ℤ) = x
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℤ
mx : x ∈ (↑(Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c) : Set ℤ)
⊢ x ∈ (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) '' (↑(range #s) : Set ℕ)
|
rw [mem_coe, mem_Ioc] at mx
|
h
|
c - (↑(#s) : ℤ) < x ∧ x ≤ c
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℤ
mx : x ∈ (↑(Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c) : Set ℤ)
⊢ ∃ x_1 < #s, c - (↑x_1 : ℤ) = x
|
mem_coe,
|
h
|
x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℤ
mx : x ∈ (↑(Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c) : Set ℤ)
⊢ ∃ x_1 < #s, c - (↑x_1 : ℤ) = x
|
mem_Ioc
|
h
|
c - (↑(#s) : ℤ) < x ∧ x ≤ c
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℤ
mx : x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∃ x_1 < #s, c - (↑x_1 : ℤ) = x
|
use (c - x).toNat
|
h
|
(c - x).toNat < #s ∧ c - (↑(c - x).toNat : ℤ) = x
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℤ
mx : c - (↑(#s) : ℤ) < x ∧ x ≤ c
⊢ ∃ x_1 < #s, c - (↑x_1 : ℤ) = x
|
set r := Ico c (c + #s)
|
set
|
∑ x ∈ r, x ≤ ∑ x ∈ s, x
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, c ≤ x
⊢ ∑ x ∈ Ico c (c + (↑(#s) : ℤ)), x ≤ ∑ x ∈ s, x
|
rw [← sum_inter_add_sum_diff r s _]
|
rw
|
∑ x ∈ r ∩ s, x + ∑ x ∈ r \ s, x ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c + (↑(#s) : ℤ))
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, c ≤ x
r : Finset ℤ := Ico c (c + (↑(#s) : ℤ))
⊢ ∑ x ∈ r, x ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c + (↑(#s) : ℤ))
|
← sum_inter_add_sum_diff r s _
|
sum_inter_add_sum_diff
|
∑ x ∈ r ∩ s, x + ∑ x ∈ r \ s, x ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c + (↑(#s) : ℤ))
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, c ≤ x
r : Finset ℤ := Ico c (c + (↑(#s) : ℤ))
⊢ ∑ x ∈ r, x ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c + (↑(#s) : ℤ))
|
refine add_le_add_left (sum_le_card_nsmul _ _ _ fun x mx ↦ ?_) _
|
refine
|
x ∈ r \ s → x ≤ c + (↑(#s) : ℤ)
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, c ≤ x
r : Finset ℤ := Ico c (c + (↑(#s) : ℤ))
⊢ ∑ x ∈ r ∩ s, x + ∑ x ∈ r \ s, x ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c + (↑(#s) : ℤ))
|
rw [mem_sdiff, mem_Ico] at mx
|
rw
|
(c ≤ x ∧ x < c + (↑(#s) : ℤ)) ∧ x ∉ s
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, c ≤ x
r : Finset ℤ := Ico c (c + (↑(#s) : ℤ))
x : ℤ
mx : x ∈ r \ s
⊢ x ≤ c + (↑(#s) : ℤ)
|
mem_sdiff,
|
this
|
x ∈ r ∧ x ∉ s
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, c ≤ x
r : Finset ℤ := Ico c (c + (↑(#s) : ℤ))
x : ℤ
mx : x ∈ r \ s
⊢ x ≤ c + (↑(#s) : ℤ)
|
mem_Ico
|
mem_Ico
|
(c ≤ x ∧ x < c + (↑(#s) : ℤ)) ∧ x ∉ s
|
s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, c ≤ x
r : Finset ℤ := Ico c (c + (↑(#s) : ℤ))
x : ℤ
mx : x ∈ r ∧ x ∉ s
⊢ x ≤ c + (↑(#s) : ℤ)
|
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