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tactic stringlengths 1 5.59k	name stringlengths 1 85	haveDraft stringlengths 1 44.5k	goal stringlengths 8 62.2k
mem_range,	h	(∃ x, (φ : A → B) x = x✝) ↔ x✝ ∈ Set.range (⇑φ : A → B)	F : Type v' R : Type u A : Type v B : Type w inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁴ : Module R A inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝² : Module R B inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B φ : F x✝ : B ⊢ x✝ ∈ NonUnitalAlgHom.range φ ↔ x✝ ∈ Set.range (⇑φ : A → B)
map_add,	this	(ϕ : A → B) x + (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) (x + y)	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R C inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B ϕ ψ : F x y : A hx : (ϕ : A → B) x = (ψ : A → B) x hy : (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) y ⊢ (ϕ : A → B) (x + y) = (ψ : A → B) (x + y)
map_add,	this	(ϕ : A → B) x + (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) x + (ψ : A → B) y	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R C inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B ϕ ψ : F x y : A hx : (ϕ : A → B) x = (ψ : A → B) x hy : (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) y ⊢ (ϕ : A → B) x + (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) (x + y)
hx,	this	(ψ : A → B) x + (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) x + (ψ : A → B) y	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R C inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B ϕ ψ : F x y : A hx : (ϕ : A → B) x = (ψ : A → B) x hy : (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) y ⊢ (ϕ : A → B) x + (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) x + (ψ : A → B) y
hy	hy	(ψ : A → B) x + (ψ : A → B) y = (ψ : A → B) x + (ψ : A → B) y	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R C inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B ϕ ψ : F x y : A hx : (ϕ : A → B) x = (ψ : A → B) x hy : (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) y ⊢ (ψ : A → B) x + (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) x + (ψ : A → B) y
map_zero,	this	0 = (ψ : A → B) 0	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R C inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B ϕ ψ : F ⊢ (ϕ : A → B) 0 = (ψ : A → B) 0
map_zero	map_zero	0 = 0	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R C inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B ϕ ψ : F ⊢ 0 = (ψ : A → B) 0
map_mul,	this	(ϕ : A → B) x * (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) (x * y)	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R C inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B ϕ ψ : F x y : A hx : (ϕ : A → B) x = (ψ : A → B) x hy : (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) y ⊢ (ϕ : A → B) (x * y) = (ψ : A → B) (x * y)
map_mul,	this	(ϕ : A → B) x * (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) x * (ψ : A → B) y	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R C inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B ϕ ψ : F x y : A hx : (ϕ : A → B) x = (ψ : A → B) x hy : (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) y ⊢ (ϕ : A → B) x * (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) (x * y)
hx,	this	(ψ : A → B) x * (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) x * (ψ : A → B) y	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R C inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B ϕ ψ : F x y : A hx : (ϕ : A → B) x = (ψ : A → B) x hy : (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) y ⊢ (ϕ : A → B) x * (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) x * (ψ : A → B) y
hy	hy	(ψ : A → B) x * (ψ : A → B) y = (ψ : A → B) x * (ψ : A → B) y	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R C inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B ϕ ψ : F x y : A hx : (ϕ : A → B) x = (ψ : A → B) x hy : (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) y ⊢ (ψ : A → B) x * (ϕ : A → B) y = (ψ : A → B) x * (ψ : A → B) y
map_smul,	this	r • (ϕ : A → B) x = (ψ : A → B) (r • x)	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R C inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B ϕ ψ : F r : R x : A hx : (ϕ : A → B) x = (ψ : A → B) x ⊢ (ϕ : A → B) (r • x) = (ψ : A → B) (r • x)
map_smul,	this	r • (ϕ : A → B) x = r • (ψ : A → B) x	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R C inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B ϕ ψ : F r : R x : A hx : (ϕ : A → B) x = (ψ : A → B) x ⊢ r • (ϕ : A → B) x = (ψ : A → B) (r • x)
hx	hx	r • (ψ : A → B) x = r • (ψ : A → B) x	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R C inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B ϕ ψ : F r : R x : A hx : (ϕ : A → B) x = (ψ : A → B) x ⊢ r • (ϕ : A → B) x = r • (ψ : A → B) x
refine Submodule.span_induction ?_ ?_ ?_ ?_ ha	refine_1	∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)	F : Type u_1 R : Type u A : Type v B : Type w inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : FunLike F A B inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A a b : A ha : a ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) hb : b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) ⊢ a * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)
refine Submodule.span_induction ?_ ?_ ?_ ?_ ha	refine_2	0 * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)	F : Type u_1 R : Type u A : Type v B : Type w inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : FunLike F A B inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A a b : A ha : a ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) hb : b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) refine_1 : ∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) ⊢ a * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)
refine Submodule.span_induction ?_ ?_ ?_ ?_ ha	refine_3	∀ (x y : A), x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) → y ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) → x * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) → y * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) → (x + y) * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)	F : Type u_1 R : Type u A : Type v B : Type w inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : FunLike F A B inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A a b : A ha : a ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) hb : b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) refine_1 : ∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) refine_2 : 0 * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) ⊢ a * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)
refine Submodule.span_induction ?_ ?_ ?_ ?_ ha	refine_4	∀ (a : R), ∀ x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) → a • x * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)	F : Type u_1 R : Type u A : Type v B : Type w inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : FunLike F A B inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A a b : A ha : a ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) hb : b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) refine_1 : ∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) refine_2 : 0 * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) refine_3 : ∀ (x y : A), x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) → y ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) → x * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) → y * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) → (x + y) * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) ⊢ a * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)
refine Submodule.span_induction ?_ ?_ ?_ ?_ hb	refine_1	∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), ∀ x_1 ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x_1 * x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)	F : Type u_1 R : Type u A : Type v B : Type w inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : FunLike F A B inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A a b : A ha : a ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) hb : b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) ⊢ ∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)
refine Submodule.span_induction ?_ ?_ ?_ ?_ hb	refine_1	∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x * 0 ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)	F : Type u_1 R : Type u A : Type v B : Type w inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : FunLike F A B inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A a b : A ha : a ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) hb : b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) refine_1 : ∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), ∀ x_1 ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x_1 * x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) ⊢ ∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)
refine Submodule.span_induction ?_ ?_ ?_ ?_ hb	refine_1	∀ (x y : A), x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) → y ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) → (∀ x_1 ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x_1 * x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)) → (∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x * y ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)) → ∀ x_1 ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x_1 * (x + y) ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)	F : Type u_1 R : Type u A : Type v B : Type w inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : FunLike F A B inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A a b : A ha : a ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) hb : b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) refine_1 : ∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), ∀ x_1 ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x_1 * x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) refine_1₁ : ∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x * 0 ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) ⊢ ∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)
refine Submodule.span_induction ?_ ?_ ?_ ?_ hb	refine_1	∀ (a : R), ∀ x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), (∀ x_1 ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x_1 * x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)) → ∀ x_1 ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x_1 * a • x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)	F : Type u_1 R : Type u A : Type v B : Type w inst✝⁸ : CommSemiring R inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁶ : Module R A inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝⁴ : Module R B inst✝³ : FunLike F A B inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A a b : A ha : a ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) hb : b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) refine_1 : ∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), ∀ x_1 ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x_1 * x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) refine_1₁ : ∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x * 0 ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) refine_1₂ : ∀ (x y : A), x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) → y ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) → (∀ x_1 ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x_1 * x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)) → (∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x * y ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)) → ∀ x_1 ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x_1 * (x + y) ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A) ⊢ ∀ x ∈ (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A), x * b ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) : Set A)
induction hy using adjoin_induction with \| mem z hz => induction hx using adjoin_induction with \| mem _ h => exact mem_mem _ _ h hz \| zero => exact zero_left _ _ \| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| smul _ _ _ h => exact smul_left _ _ _ _ _ h \| zero => exact zero_right x hx \| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul_right _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_right _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| smul _ _ _ h => exact smul_right _ _ _ _ _ h	mem	z ∈ s → p x z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s hy : y ∈ adjoin R s ⊢ p x y hx hy
induction hy using adjoin_induction with \| mem z hz => induction hx using adjoin_induction with \| mem _ h => exact mem_mem _ _ h hz \| zero => exact zero_left _ _ \| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| smul _ _ _ h => exact smul_left _ _ _ _ _ h \| zero => exact zero_right x hx \| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul_right _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_right _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| smul _ _ _ h => exact smul_right _ _ _ _ _ h	zero	p x 0 sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s hy : y ∈ adjoin R s mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ ⊢ p x y hx hy
induction hy using adjoin_induction with \| mem z hz => induction hx using adjoin_induction with \| mem _ h => exact mem_mem _ _ h hz \| zero => exact zero_left _ _ \| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| smul _ _ _ h => exact smul_left _ _ _ _ _ h \| zero => exact zero_right x hx \| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul_right _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_right _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| smul _ _ _ h => exact smul_right _ _ _ _ _ h	mul	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x x✝ sorry sorry → p x y✝ sorry sorry → p x (x✝ * y✝) sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s hy : y ∈ adjoin R s mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ zero : p x 0 hx ⋯ ⊢ p x y hx hy
induction hy using adjoin_induction with \| mem z hz => induction hx using adjoin_induction with \| mem _ h => exact mem_mem _ _ h hz \| zero => exact zero_left _ _ \| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| smul _ _ _ h => exact smul_left _ _ _ _ _ h \| zero => exact zero_right x hx \| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul_right _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_right _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| smul _ _ _ h => exact smul_right _ _ _ _ _ h	add	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x x✝ sorry sorry → p x y✝ sorry sorry → p x (x✝ + y✝) sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s hy : y ∈ adjoin R s mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ zero : p x 0 hx ⋯ mul : ∀ (hx_1 : _fvar.187668 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187669 ∈ adjoin R s), p x _fvar.187668 hx hx_1 → p x _fvar.187669 hx hy → p x (_fvar.187668 * _fvar.187669) hx ⋯ ⊢ p x y hx hy
induction hy using adjoin_induction with \| mem z hz => induction hx using adjoin_induction with \| mem _ h => exact mem_mem _ _ h hz \| zero => exact zero_left _ _ \| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| smul _ _ _ h => exact smul_left _ _ _ _ _ h \| zero => exact zero_right x hx \| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul_right _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_right _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| smul _ _ _ h => exact smul_right _ _ _ _ _ h	smul	x✝ ∈ adjoin R s → p x x✝ sorry sorry → p x (r✝ • x✝) sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s hy : y ∈ adjoin R s mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ zero : p x 0 hx ⋯ mul : ∀ (hx_1 : _fvar.187668 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187669 ∈ adjoin R s), p x _fvar.187668 hx hx_1 → p x _fvar.187669 hx hy → p x (_fvar.187668 * _fvar.187669) hx ⋯ add : ∀ (hx_1 : _fvar.187689 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187690 ∈ adjoin R s), p x _fvar.187689 hx hx_1 → p x _fvar.187690 hx hy → p x (_fvar.187689 + _fvar.187690) hx ⋯ ⊢ p x y hx hy
\| mem z hz =>	zero	p x 0 sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s z : A hz : z ∈ s ⊢ p x z hx ⋯
\| mem z hz =>	mul	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x x✝ sorry sorry → p x y✝ sorry sorry → p x (x✝ * y✝) sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s z : A hz : z ∈ s zero : p x 0 hx ⋯ ⊢ p x z hx ⋯
\| mem z hz =>	add	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x x✝ sorry sorry → p x y✝ sorry sorry → p x (x✝ + y✝) sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s z : A hz : z ∈ s zero : p x 0 hx ⋯ mul : ∀ (hx_1 : _fvar.187668 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187669 ∈ adjoin R s), p x _fvar.187668 hx hx_1 → p x _fvar.187669 hx hy → p x (_fvar.187668 * _fvar.187669) hx ⋯ ⊢ p x z hx ⋯
\| mem z hz =>	smul	x✝ ∈ adjoin R s → p x x✝ sorry sorry → p x (r✝ • x✝) sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s z : A hz : z ∈ s zero : p x 0 hx ⋯ mul : ∀ (hx_1 : _fvar.187668 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187669 ∈ adjoin R s), p x _fvar.187668 hx hx_1 → p x _fvar.187669 hx hy → p x (_fvar.187668 * _fvar.187669) hx ⋯ add : ∀ (hx_1 : _fvar.187689 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187690 ∈ adjoin R s), p x _fvar.187689 hx hx_1 → p x _fvar.187690 hx hy → p x (_fvar.187689 + _fvar.187690) hx ⋯ ⊢ p x z hx ⋯
induction hx using adjoin_induction with \| mem _ h => exact mem_mem _ _ h hz \| zero => exact zero_left _ _ \| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| smul _ _ _ h => exact smul_left _ _ _ _ _ h	mem	x✝ ∈ s → p x✝ z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s z : A hz : z ∈ s ⊢ p x z hx ⋯
induction hx using adjoin_induction with \| mem _ h => exact mem_mem _ _ h hz \| zero => exact zero_left _ _ \| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| smul _ _ _ h => exact smul_left _ _ _ _ _ h	mem	p 0 z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s z : A hz : z ∈ s mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ ⊢ p x z hx ⋯
induction hx using adjoin_induction with \| mem _ h => exact mem_mem _ _ h hz \| zero => exact zero_left _ _ \| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| smul _ _ _ h => exact smul_left _ _ _ _ _ h	mem	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x✝ z sorry sorry → p y✝ z sorry sorry → p (x✝ * y✝) z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s z : A hz : z ∈ s mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ mem₁ : p 0 z ⋯ ⋯ ⊢ p x z hx ⋯
induction hx using adjoin_induction with \| mem _ h => exact mem_mem _ _ h hz \| zero => exact zero_left _ _ \| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| smul _ _ _ h => exact smul_left _ _ _ _ _ h	mem	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x✝ z sorry sorry → p y✝ z sorry sorry → p (x✝ + y✝) z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s z : A hz : z ∈ s mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ mem₁ : p 0 z ⋯ ⋯ mem₂ : ∀ (hx : _fvar.187577 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187578 ∈ adjoin R s), p _fvar.187577 z hx ⋯ → p _fvar.187578 z hy ⋯ → p (_fvar.187577 * _fvar.187578) z ⋯ ⋯ ⊢ p x z hx ⋯
induction hx using adjoin_induction with \| mem _ h => exact mem_mem _ _ h hz \| zero => exact zero_left _ _ \| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ \| smul _ _ _ h => exact smul_left _ _ _ _ _ h	mem	x✝ ∈ adjoin R s → p x✝ z sorry sorry → p (r✝ • x✝) z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s z : A hz : z ∈ s mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ mem₁ : p 0 z ⋯ ⋯ mem₂ : ∀ (hx : _fvar.187577 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187578 ∈ adjoin R s), p _fvar.187577 z hx ⋯ → p _fvar.187578 z hy ⋯ → p (_fvar.187577 * _fvar.187578) z ⋯ ⋯ mem₃ : ∀ (hx : _fvar.187604 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187605 ∈ adjoin R s), p _fvar.187604 z hx ⋯ → p _fvar.187605 z hy ⋯ → p (_fvar.187604 + _fvar.187605) z ⋯ ⋯ ⊢ p x z hx ⋯
\| mem _ h =>	mem	p 0 z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s x✝ : A h : x✝ ∈ s ⊢ p x✝ z ⋯ ⋯
\| mem _ h =>	mem	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x✝ z sorry sorry → p y✝ z sorry sorry → p (x✝ * y✝) z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s x✝ : A h : x✝ ∈ s mem : p 0 z ⋯ ⋯ ⊢ p x✝ z ⋯ ⋯
\| mem _ h =>	mem	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x✝ z sorry sorry → p y✝ z sorry sorry → p (x✝ + y✝) z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s x✝ : A h : x✝ ∈ s mem : p 0 z ⋯ ⋯ mem₁ : ∀ (hx : _fvar.187577 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187578 ∈ adjoin R s), p _fvar.187577 z hx ⋯ → p _fvar.187578 z hy ⋯ → p (_fvar.187577 * _fvar.187578) z ⋯ ⋯ ⊢ p x✝ z ⋯ ⋯
\| mem _ h =>	mem	x✝ ∈ adjoin R s → p x✝ z sorry sorry → p (r✝ • x✝) z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s x✝ : A h : x✝ ∈ s mem : p 0 z ⋯ ⋯ mem₁ : ∀ (hx : _fvar.187577 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187578 ∈ adjoin R s), p _fvar.187577 z hx ⋯ → p _fvar.187578 z hy ⋯ → p (_fvar.187577 * _fvar.187578) z ⋯ ⋯ mem₂ : ∀ (hx : _fvar.187604 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187605 ∈ adjoin R s), p _fvar.187604 z hx ⋯ → p _fvar.187605 z hy ⋯ → p (_fvar.187604 + _fvar.187605) z ⋯ ⋯ ⊢ p x✝ z ⋯ ⋯
\| zero =>	mem	x✝ ∈ s → p x✝ z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s ⊢ p 0 z ⋯ ⋯
\| zero =>	mem	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x✝ z sorry sorry → p y✝ z sorry sorry → p (x✝ * y✝) z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ ⊢ p 0 z ⋯ ⋯
\| zero =>	mem	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x✝ z sorry sorry → p y✝ z sorry sorry → p (x✝ + y✝) z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ mem₁ : ∀ (hx : _fvar.187577 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187578 ∈ adjoin R s), p _fvar.187577 z hx ⋯ → p _fvar.187578 z hy ⋯ → p (_fvar.187577 * _fvar.187578) z ⋯ ⋯ ⊢ p 0 z ⋯ ⋯
\| zero =>	mem	x✝ ∈ adjoin R s → p x✝ z sorry sorry → p (r✝ • x✝) z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ mem₁ : ∀ (hx : _fvar.187577 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187578 ∈ adjoin R s), p _fvar.187577 z hx ⋯ → p _fvar.187578 z hy ⋯ → p (_fvar.187577 * _fvar.187578) z ⋯ ⋯ mem₂ : ∀ (hx : _fvar.187604 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187605 ∈ adjoin R s), p _fvar.187604 z hx ⋯ → p _fvar.187605 z hy ⋯ → p (_fvar.187604 + _fvar.187605) z ⋯ ⋯ ⊢ p 0 z ⋯ ⋯
\| mul _ _ _ _ h₁ h₂ =>	mem	x✝ ∈ s → p x✝ z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x✝ z hx✝ ⋯ h₂ : p y✝ z hy✝ ⋯ ⊢ p (x✝ * y✝) z ⋯ ⋯
\| mul _ _ _ _ h₁ h₂ =>	mem	p 0 z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x✝ z hx✝ ⋯ h₂ : p y✝ z hy✝ ⋯ mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ ⊢ p (x✝ * y✝) z ⋯ ⋯
\| mul _ _ _ _ h₁ h₂ =>	mem	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x✝ z sorry sorry → p y✝ z sorry sorry → p (x✝ + y✝) z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x✝ z hx✝ ⋯ h₂ : p y✝ z hy✝ ⋯ mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ mem₁ : p 0 z ⋯ ⋯ ⊢ p (x✝ * y✝) z ⋯ ⋯
\| mul _ _ _ _ h₁ h₂ =>	mem	x✝ ∈ adjoin R s → p x✝ z sorry sorry → p (r✝ • x✝) z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x✝ z hx✝ ⋯ h₂ : p y✝ z hy✝ ⋯ mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ mem₁ : p 0 z ⋯ ⋯ mem₂ : ∀ (hx : _fvar.187604 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187605 ∈ adjoin R s), p _fvar.187604 z hx ⋯ → p _fvar.187605 z hy ⋯ → p (_fvar.187604 + _fvar.187605) z ⋯ ⋯ ⊢ p (x✝ * y✝) z ⋯ ⋯
\| add _ _ _ _ h₁ h₂ =>	mem	x✝ ∈ s → p x✝ z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x✝ z hx✝ ⋯ h₂ : p y✝ z hy✝ ⋯ ⊢ p (x✝ + y✝) z ⋯ ⋯
\| add _ _ _ _ h₁ h₂ =>	mem	p 0 z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x✝ z hx✝ ⋯ h₂ : p y✝ z hy✝ ⋯ mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ ⊢ p (x✝ + y✝) z ⋯ ⋯
\| add _ _ _ _ h₁ h₂ =>	mem	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x✝ z sorry sorry → p y✝ z sorry sorry → p (x✝ * y✝) z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x✝ z hx✝ ⋯ h₂ : p y✝ z hy✝ ⋯ mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ mem₁ : p 0 z ⋯ ⋯ ⊢ p (x✝ + y✝) z ⋯ ⋯
\| add _ _ _ _ h₁ h₂ =>	mem	x✝ ∈ adjoin R s → p x✝ z sorry sorry → p (r✝ • x✝) z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x✝ z hx✝ ⋯ h₂ : p y✝ z hy✝ ⋯ mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ mem₁ : p 0 z ⋯ ⋯ mem₂ : ∀ (hx : _fvar.187577 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187578 ∈ adjoin R s), p _fvar.187577 z hx ⋯ → p _fvar.187578 z hy ⋯ → p (_fvar.187577 * _fvar.187578) z ⋯ ⋯ ⊢ p (x✝ + y✝) z ⋯ ⋯
\| smul _ _ _ h =>	mem	x✝ ∈ s → p x✝ z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s r✝ : R x✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s h : p x✝ z hx✝ ⋯ ⊢ p (r✝ • x✝) z ⋯ ⋯
\| smul _ _ _ h =>	mem	p 0 z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s r✝ : R x✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s h : p x✝ z hx✝ ⋯ mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ ⊢ p (r✝ • x✝) z ⋯ ⋯
\| smul _ _ _ h =>	mem	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x✝ z sorry sorry → p y✝ z sorry sorry → p (x✝ * y✝) z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s r✝ : R x✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s h : p x✝ z hx✝ ⋯ mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ mem₁ : p 0 z ⋯ ⋯ ⊢ p (r✝ • x✝) z ⋯ ⋯
\| smul _ _ _ h =>	mem	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x✝ z sorry sorry → p y✝ z sorry sorry → p (x✝ + y✝) z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y z : A hz : z ∈ s r✝ : R x✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s h : p x✝ z hx✝ ⋯ mem : ∀ (h : _fvar.187548 ∈ s), p _fvar.187548 z ⋯ ⋯ mem₁ : p 0 z ⋯ ⋯ mem₂ : ∀ (hx : _fvar.187577 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187578 ∈ adjoin R s), p _fvar.187577 z hx ⋯ → p _fvar.187578 z hy ⋯ → p (_fvar.187577 * _fvar.187578) z ⋯ ⋯ ⊢ p (r✝ • x✝) z ⋯ ⋯
\| zero =>	mem	z ∈ s → p x z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s ⊢ p x 0 hx ⋯
\| zero =>	mul	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x x✝ sorry sorry → p x y✝ sorry sorry → p x (x✝ * y✝) sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ ⊢ p x 0 hx ⋯
\| zero =>	add	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x x✝ sorry sorry → p x y✝ sorry sorry → p x (x✝ + y✝) sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ mul : ∀ (hx_1 : _fvar.187668 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187669 ∈ adjoin R s), p x _fvar.187668 hx hx_1 → p x _fvar.187669 hx hy → p x (_fvar.187668 * _fvar.187669) hx ⋯ ⊢ p x 0 hx ⋯
\| zero =>	smul	x✝ ∈ adjoin R s → p x x✝ sorry sorry → p x (r✝ • x✝) sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ mul : ∀ (hx_1 : _fvar.187668 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187669 ∈ adjoin R s), p x _fvar.187668 hx hx_1 → p x _fvar.187669 hx hy → p x (_fvar.187668 * _fvar.187669) hx ⋯ add : ∀ (hx_1 : _fvar.187689 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187690 ∈ adjoin R s), p x _fvar.187689 hx hx_1 → p x _fvar.187690 hx hy → p x (_fvar.187689 + _fvar.187690) hx ⋯ ⊢ p x 0 hx ⋯
\| mul _ _ _ _ h₁ h₂ =>	mem	z ∈ s → p x z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x x✝ hx hx✝ h₂ : p x y✝ hx hy✝ ⊢ p x (x✝ * y✝) hx ⋯
\| mul _ _ _ _ h₁ h₂ =>	zero	p x 0 sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x x✝ hx hx✝ h₂ : p x y✝ hx hy✝ mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ ⊢ p x (x✝ * y✝) hx ⋯
\| mul _ _ _ _ h₁ h₂ =>	add	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x x✝ sorry sorry → p x y✝ sorry sorry → p x (x✝ + y✝) sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x x✝ hx hx✝ h₂ : p x y✝ hx hy✝ mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ zero : p x 0 hx ⋯ ⊢ p x (x✝ * y✝) hx ⋯
\| mul _ _ _ _ h₁ h₂ =>	smul	x✝ ∈ adjoin R s → p x x✝ sorry sorry → p x (r✝ • x✝) sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x x✝ hx hx✝ h₂ : p x y✝ hx hy✝ mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ zero : p x 0 hx ⋯ add : ∀ (hx_1 : _fvar.187689 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187690 ∈ adjoin R s), p x _fvar.187689 hx hx_1 → p x _fvar.187690 hx hy → p x (_fvar.187689 + _fvar.187690) hx ⋯ ⊢ p x (x✝ * y✝) hx ⋯
\| add _ _ _ _ h₁ h₂ =>	mem	z ∈ s → p x z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x x✝ hx hx✝ h₂ : p x y✝ hx hy✝ ⊢ p x (x✝ + y✝) hx ⋯
\| add _ _ _ _ h₁ h₂ =>	zero	p x 0 sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x x✝ hx hx✝ h₂ : p x y✝ hx hy✝ mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ ⊢ p x (x✝ + y✝) hx ⋯
\| add _ _ _ _ h₁ h₂ =>	mul	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x x✝ sorry sorry → p x y✝ sorry sorry → p x (x✝ * y✝) sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x x✝ hx hx✝ h₂ : p x y✝ hx hy✝ mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ zero : p x 0 hx ⋯ ⊢ p x (x✝ + y✝) hx ⋯
\| add _ _ _ _ h₁ h₂ =>	smul	x✝ ∈ adjoin R s → p x x✝ sorry sorry → p x (r✝ • x✝) sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s x✝ y✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s h₁ : p x x✝ hx hx✝ h₂ : p x y✝ hx hy✝ mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ zero : p x 0 hx ⋯ mul : ∀ (hx_1 : _fvar.187668 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187669 ∈ adjoin R s), p x _fvar.187668 hx hx_1 → p x _fvar.187669 hx hy → p x (_fvar.187668 * _fvar.187669) hx ⋯ ⊢ p x (x✝ + y✝) hx ⋯
\| smul _ _ _ h =>	mem	z ∈ s → p x z sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s r✝ : R x✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s h : p x x✝ hx hx✝ ⊢ p x (r✝ • x✝) hx ⋯
\| smul _ _ _ h =>	zero	p x 0 sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s r✝ : R x✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s h : p x x✝ hx hx✝ mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ ⊢ p x (r✝ • x✝) hx ⋯
\| smul _ _ _ h =>	mul	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x x✝ sorry sorry → p x y✝ sorry sorry → p x (x✝ * y✝) sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s r✝ : R x✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s h : p x x✝ hx hx✝ mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ zero : p x 0 hx ⋯ ⊢ p x (r✝ • x✝) hx ⋯
\| smul _ _ _ h =>	add	x✝ ∈ adjoin R s → y✝ ∈ adjoin R s → p x x✝ sorry sorry → p x y✝ sorry sorry → p x (x✝ + y✝) sorry sorry	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A p : (x y : A) → x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → Prop mem_mem : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ s), p x y ⋯ ⋯ zero_left : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p 0 x ⋯ hx zero_right : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x 0 hx ⋯ add_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz add_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯ mul_left : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x z hx hz → p y z hy hz → p (x * y) z ⋯ hz mul_right : ∀ (x y z : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s) (hz : z ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y * z) hx ⋯ smul_left : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy smul_right : ∀ (r : R) (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯ x y : A hx : x ∈ adjoin R s r✝ : R x✝ : A hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s h : p x x✝ hx hx✝ mem : ∀ (hz : _fvar.187472 ∈ s), p x _fvar.187472 hx ⋯ zero : p x 0 hx ⋯ mul : ∀ (hx_1 : _fvar.187668 ∈ adjoin R s) (hy : _fvar.187669 ∈ adjoin R s), p x _fvar.187668 hx hx_1 → p x _fvar.187669 hx hy → p x (_fvar.187668 * _fvar.187669) hx ⋯ ⊢ p x (r✝ • x✝) hx ⋯
apply le_antisymm	a	(adjoin R s).toSubmodule ≤ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A ⊢ (adjoin R s).toSubmodule = span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
apply le_antisymm	a	span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ≤ (adjoin R s).toSubmodule	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A a : (adjoin R s).toSubmodule ≤ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ (adjoin R s).toSubmodule = span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
induction hx using adjoin_induction with \| mem x hx => exact subset_span <\| Subsemigroup.subset_closure hx \| add x y _ _ hpx hpy => exact add_mem hpx hpy \| zero => exact zero_mem _ \| mul x y _ _ hpx hpy => apply span_induction₂ ?Hs (by simp) (by simp) ?Hadd_l ?Hadd_r ?Hsmul_l ?Hsmul_r hpx hpy case Hs => exact fun x y hx hy ↦ subset_span <\| mul_mem hx hy case Hadd_l => exact fun x y z _ _ _ hxz hyz ↦ by simpa [add_mul] using add_mem hxz hyz case Hadd_r => exact fun x y z _ _ _ hxz hyz ↦ by simpa [mul_add] using add_mem hxz hyz case Hsmul_l => exact fun r x y _ _ hxy ↦ by simpa [smul_mul_assoc] using smul_mem _ _ hxy case Hsmul_r => exact fun r x y _ _ hxy ↦ by simpa [mul_smul_comm] using smul_mem _ _ hxy \| smul r x _ hpx => exact smul_mem _ _ hpx	a	x ∈ s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x : A hx : x ∈ (adjoin R s).toSubmodule ⊢ x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
induction hx using adjoin_induction with \| mem x hx => exact subset_span <\| Subsemigroup.subset_closure hx \| add x y _ _ hpx hpy => exact add_mem hpx hpy \| zero => exact zero_mem _ \| mul x y _ _ hpx hpy => apply span_induction₂ ?Hs (by simp) (by simp) ?Hadd_l ?Hadd_r ?Hsmul_l ?Hsmul_r hpx hpy case Hs => exact fun x y hx hy ↦ subset_span <\| mul_mem hx hy case Hadd_l => exact fun x y z _ _ _ hxz hyz ↦ by simpa [add_mul] using add_mem hxz hyz case Hadd_r => exact fun x y z _ _ _ hxz hyz ↦ by simpa [mul_add] using add_mem hxz hyz case Hsmul_l => exact fun r x y _ _ hxy ↦ by simpa [smul_mul_assoc] using smul_mem _ _ hxy case Hsmul_r => exact fun r x y _ _ hxy ↦ by simpa [mul_smul_comm] using smul_mem _ _ hxy \| smul r x _ hpx => exact smul_mem _ _ hpx	a	x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x + y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x : A hx : x ∈ (adjoin R s).toSubmodule a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
induction hx using adjoin_induction with \| mem x hx => exact subset_span <\| Subsemigroup.subset_closure hx \| add x y _ _ hpx hpy => exact add_mem hpx hpy \| zero => exact zero_mem _ \| mul x y _ _ hpx hpy => apply span_induction₂ ?Hs (by simp) (by simp) ?Hadd_l ?Hadd_r ?Hsmul_l ?Hsmul_r hpx hpy case Hs => exact fun x y hx hy ↦ subset_span <\| mul_mem hx hy case Hadd_l => exact fun x y z _ _ _ hxz hyz ↦ by simpa [add_mul] using add_mem hxz hyz case Hadd_r => exact fun x y z _ _ _ hxz hyz ↦ by simpa [mul_add] using add_mem hxz hyz case Hsmul_l => exact fun r x y _ _ hxy ↦ by simpa [smul_mul_assoc] using smul_mem _ _ hxy case Hsmul_r => exact fun r x y _ _ hxy ↦ by simpa [mul_smul_comm] using smul_mem _ _ hxy \| smul r x _ hpx => exact smul_mem _ _ hpx	a	0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x : A hx : x ∈ (adjoin R s).toSubmodule a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₁ : _fvar.190498 ∈ adjoin R s → _fvar.190499 ∈ adjoin R s → _fvar.190498 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190498 + _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
induction hx using adjoin_induction with \| mem x hx => exact subset_span <\| Subsemigroup.subset_closure hx \| add x y _ _ hpx hpy => exact add_mem hpx hpy \| zero => exact zero_mem _ \| mul x y _ _ hpx hpy => apply span_induction₂ ?Hs (by simp) (by simp) ?Hadd_l ?Hadd_r ?Hsmul_l ?Hsmul_r hpx hpy case Hs => exact fun x y hx hy ↦ subset_span <\| mul_mem hx hy case Hadd_l => exact fun x y z _ _ _ hxz hyz ↦ by simpa [add_mul] using add_mem hxz hyz case Hadd_r => exact fun x y z _ _ _ hxz hyz ↦ by simpa [mul_add] using add_mem hxz hyz case Hsmul_l => exact fun r x y _ _ hxy ↦ by simpa [smul_mul_assoc] using smul_mem _ _ hxy case Hsmul_r => exact fun r x y _ _ hxy ↦ by simpa [mul_smul_comm] using smul_mem _ _ hxy \| smul r x _ hpx => exact smul_mem _ _ hpx	a	x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x : A hx : x ∈ (adjoin R s).toSubmodule a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₁ : _fvar.190498 ∈ adjoin R s → _fvar.190499 ∈ adjoin R s → _fvar.190498 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190498 + _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₂ : 0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
induction hx using adjoin_induction with \| mem x hx => exact subset_span <\| Subsemigroup.subset_closure hx \| add x y _ _ hpx hpy => exact add_mem hpx hpy \| zero => exact zero_mem _ \| mul x y _ _ hpx hpy => apply span_induction₂ ?Hs (by simp) (by simp) ?Hadd_l ?Hadd_r ?Hsmul_l ?Hsmul_r hpx hpy case Hs => exact fun x y hx hy ↦ subset_span <\| mul_mem hx hy case Hadd_l => exact fun x y z _ _ _ hxz hyz ↦ by simpa [add_mul] using add_mem hxz hyz case Hadd_r => exact fun x y z _ _ _ hxz hyz ↦ by simpa [mul_add] using add_mem hxz hyz case Hsmul_l => exact fun r x y _ _ hxy ↦ by simpa [smul_mul_assoc] using smul_mem _ _ hxy case Hsmul_r => exact fun r x y _ _ hxy ↦ by simpa [mul_smul_comm] using smul_mem _ _ hxy \| smul r x _ hpx => exact smul_mem _ _ hpx	a	x ∈ adjoin R s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → r • x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x : A hx : x ∈ (adjoin R s).toSubmodule a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₁ : _fvar.190498 ∈ adjoin R s → _fvar.190499 ∈ adjoin R s → _fvar.190498 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190498 + _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₂ : 0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₃ : _fvar.190871 ∈ adjoin R s → _fvar.190872 ∈ adjoin R s → _fvar.190871 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190872 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190871 * _fvar.190872 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| mem x hx =>	a	x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x + y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x : A hx : x ∈ s ⊢ x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| mem x hx =>	a	0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x : A hx : x ∈ s a : _fvar.190498 ∈ adjoin R s → _fvar.190499 ∈ adjoin R s → _fvar.190498 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190498 + _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| mem x hx =>	a	x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x : A hx : x ∈ s a : _fvar.190498 ∈ adjoin R s → _fvar.190499 ∈ adjoin R s → _fvar.190498 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190498 + _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₁ : 0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| mem x hx =>	a	x ∈ adjoin R s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → r • x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x : A hx : x ∈ s a : _fvar.190498 ∈ adjoin R s → _fvar.190499 ∈ adjoin R s → _fvar.190498 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190498 + _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₁ : 0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₂ : _fvar.190871 ∈ adjoin R s → _fvar.190872 ∈ adjoin R s → _fvar.190871 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190872 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190871 * _fvar.190872 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| add x y _ _ hpx hpy =>	a	x ∈ s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x y : A hx✝ : x ∈ adjoin R s hy✝ : y ∈ adjoin R s hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) hpy : y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x + y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| add x y _ _ hpx hpy =>	a	0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x y : A hx✝ : x ∈ adjoin R s hy✝ : y ∈ adjoin R s hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) hpy : y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x + y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| add x y _ _ hpx hpy =>	a	x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x y : A hx✝ : x ∈ adjoin R s hy✝ : y ∈ adjoin R s hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) hpy : y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₁ : 0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x + y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| add x y _ _ hpx hpy =>	a	x ∈ adjoin R s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → r • x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x y : A hx✝ : x ∈ adjoin R s hy✝ : y ∈ adjoin R s hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) hpy : y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₁ : 0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₂ : _fvar.190871 ∈ adjoin R s → _fvar.190872 ∈ adjoin R s → _fvar.190871 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190872 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190871 * _fvar.190872 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x + y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| zero =>	a	x ∈ s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x : A ⊢ 0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| zero =>	a	x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x + y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x : A a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ 0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| zero =>	a	x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x : A a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₁ : _fvar.190498 ∈ adjoin R s → _fvar.190499 ∈ adjoin R s → _fvar.190498 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190498 + _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ 0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| zero =>	a	x ∈ adjoin R s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → r • x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x : A a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₁ : _fvar.190498 ∈ adjoin R s → _fvar.190499 ∈ adjoin R s → _fvar.190498 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190498 + _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₂ : _fvar.190871 ∈ adjoin R s → _fvar.190872 ∈ adjoin R s → _fvar.190871 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190872 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190871 * _fvar.190872 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ 0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| mul x y _ _ hpx hpy =>	a	x ∈ s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x y : A hx✝ : x ∈ adjoin R s hy✝ : y ∈ adjoin R s hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) hpy : y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| mul x y _ _ hpx hpy =>	a	x ∈ adjoin R s → y ∈ adjoin R s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x + y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x y : A hx✝ : x ∈ adjoin R s hy✝ : y ∈ adjoin R s hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) hpy : y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| mul x y _ _ hpx hpy =>	a	0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x y : A hx✝ : x ∈ adjoin R s hy✝ : y ∈ adjoin R s hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) hpy : y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₁ : _fvar.190498 ∈ adjoin R s → _fvar.190499 ∈ adjoin R s → _fvar.190498 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190498 + _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
\| mul x y _ _ hpx hpy =>	a	x ∈ adjoin R s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → r • x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x y : A hx✝ : x ∈ adjoin R s hy✝ : y ∈ adjoin R s hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) hpy : y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₁ : _fvar.190498 ∈ adjoin R s → _fvar.190499 ∈ adjoin R s → _fvar.190498 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → _fvar.190498 + _fvar.190499 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) a₂ : 0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
apply span_induction₂ ?Hs (by simp) (by simp) ?Hadd_l ?Hadd_r ?Hsmul_l ?Hsmul_r hpx hpy	apply	∀ (x y : A), x ∈ (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x y : A hx✝ : x ∈ adjoin R s hy✝ : y ∈ adjoin R s hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) hpy : y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
apply span_induction₂ ?Hs (by simp) (by simp) ?Hadd_l ?Hadd_r ?Hsmul_l ?Hsmul_r hpx hpy	apply	∀ (x y z : A), x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y * z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → (x + y) * z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x y : A hx✝ : x ∈ adjoin R s hy✝ : y ∈ adjoin R s hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) hpy : y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) apply : ∀ (x y : A), x ∈ (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
apply span_induction₂ ?Hs (by simp) (by simp) ?Hadd_l ?Hadd_r ?Hsmul_l ?Hsmul_r hpx hpy	apply	∀ (x y z : A), x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * (y + z) ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x y : A hx✝ : x ∈ adjoin R s hy✝ : y ∈ adjoin R s hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) hpy : y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) apply : ∀ (x y : A), x ∈ (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) apply₁ : ∀ (x y z : A), x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y * z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → (x + y) * z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
apply span_induction₂ ?Hs (by simp) (by simp) ?Hadd_l ?Hadd_r ?Hsmul_l ?Hsmul_r hpx hpy	apply	∀ (r : R) (x y : A), x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → r • x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x y : A hx✝ : x ∈ adjoin R s hy✝ : y ∈ adjoin R s hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) hpy : y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) apply : ∀ (x y : A), x ∈ (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) apply₁ : ∀ (x y z : A), x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y * z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → (x + y) * z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) apply₂ : ∀ (x y z : A), x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * (y + z) ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
apply span_induction₂ ?Hs (by simp) (by simp) ?Hadd_l ?Hadd_r ?Hsmul_l ?Hsmul_r hpx hpy	apply	∀ (r : R) (x y : A), x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * r • y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)	R : Type u A : Type v inst✝⁴ : CommSemiring R inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝² : Module R A inst✝¹ : IsScalarTower R A A inst✝ : SMulCommClass R A A s : Set A x✝ x y : A hx✝ : x ∈ adjoin R s hy✝ : y ∈ adjoin R s hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) hpy : y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) apply : ∀ (x y : A), x ∈ (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) apply₁ : ∀ (x y z : A), x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y * z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → (x + y) * z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) apply₂ : ∀ (x y z : A), x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * z ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * (y + z) ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) apply₃ : ∀ (r : R) (x y : A), x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → r • x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊢ x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)

Subsets and Splits

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