UnluckyOrangutan/tactic-haveDraft8 · Datasets at Hugging Face

tactic stringlengths 1 5.59k	name stringlengths 1 85	haveDraft stringlengths 1 44.5k	goal stringlengths 8 62.2k
refine Quot.induction_on₃ x y z ?_	refine	∀ (a b c : (j : J) × ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j), Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) a * (Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) b + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) c) = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) a * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) b + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) a * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) c	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J x y z : (↑(R F) : Type (max u v)) ⊢ x * (y + z) = x * y + x * z
erw [colimit_add_mk_eq _ ⟨j₂, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k g h, colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨k, _⟩ k f (𝟙 k), colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨j₂, _⟩ k f g, colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k f h, colimit_add_mk_eq _ ⟨k, _⟩ ⟨k, _⟩ k (𝟙 k) (𝟙 k)]	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * (Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩) = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩
colimit_add_mk_eq _ ⟨j₂, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k g h,	mk	Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * (Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩) = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩
colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨k, _⟩ k f (𝟙 k),	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩
colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨j₂, _⟩ k f g,	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u 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colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k f h,	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩ + MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat 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AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩
colimit_add_mk_eq _ ⟨k, _⟩ ⟨k, _⟩ k (𝟙 k) (𝟙 k)	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩ + MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩
simp only [CategoryTheory.Functor.map_id, id_apply]	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) y + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ 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(ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k 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(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩
erw [left_distrib (F.map f x) (F.map g y) (F.map h z)]	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (F.map f) : (↑(F.obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (F.map g) : (↑(F.obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) y + (ConcreteCategory.hom (F.map f) : (↑(F.obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (F.map h) : (↑(F.obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) z⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) y + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩
left_distrib (F.map f x) (F.map g y) (F.map h z)	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (F.map f) : (↑(F.obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (F.map g) : (↑(F.obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) y + (ConcreteCategory.hom (F.map f) : (↑(F.obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (F.map h) : (↑(F.obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) z⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) y + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩
refine Quot.induction_on₃ x y z ?_	refine	∀ (a b c : (j : J) × ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j), (Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) a + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) b) * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) c = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) a * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) c + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) b * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) c	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J x y z : (↑(R F) : Type (max u v)) ⊢ (x + y) * z = x * z + y * z
erw [colimit_add_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨j₂, _⟩ k f g, colimit_mul_mk_eq _ ⟨k, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k (𝟙 k) h, colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k f h, colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₂, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k g h, colimit_add_mk_eq _ ⟨k, _⟩ ⟨k, _⟩ k (𝟙 k) (𝟙 k)]	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ (Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩) * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩
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colimit_add_mk_eq _ ⟨k, _⟩ ⟨k, _⟩ k (𝟙 k) (𝟙 k)	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ + MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩
simp only [CategoryTheory.Functor.map_id, id_apply]	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) x + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) y) * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩
erw [right_distrib (F.map f x) (F.map g y) (F.map h z)]	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (F.map f) : (↑(F.obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (F.map h) : (↑(F.obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) z + (ConcreteCategory.hom (F.map g) : (↑(F.obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) y * (ConcreteCategory.hom (F.map h) : (↑(F.obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) z⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) x + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) y) * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩
right_distrib (F.map f x) (F.map g y) (F.map h z)	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (F.map f) : (↑(F.obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (F.map h) : (↑(F.obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) z + (ConcreteCategory.hom (F.map g) : (↑(F.obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) y * (ConcreteCategory.hom (F.map h) : (↑(F.obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) z⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) x + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) y) * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩
refine Quot.inductionOn x ?_	refine	∀ (a : (j : J) × ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j), 0 * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) a = 0	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J x : (↑(R F) : Type (max u v)) ⊢ 0 * x = 0
erw [colimit_zero_eq _ j, colimit_mul_mk_eq _ ⟨j, _⟩ ⟨j, _⟩ j (𝟙 j) (𝟙 j)]	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ 0 * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ = 0
colimit_zero_eq _ j,	mk	AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ 0 * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ = 0
colimit_mul_mk_eq _ ⟨j, _⟩ ⟨j, _⟩ j (𝟙 j) (𝟙 j)	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩
rw [CategoryTheory.Functor.map_id]	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩
CategoryTheory.Functor.map_id	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩
dsimp	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, 0 * x⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩
rw [zero_mul x]	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, 0 * x⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩
zero_mul x	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, 0 * x⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩
refine Quot.inductionOn x ?_	refine	∀ (a : (j : J) × ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j), Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) a * 0 = 0	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J x : (↑(R F) : Type (max u v)) ⊢ x * 0 = 0
erw [colimit_zero_eq _ j, colimit_mul_mk_eq _ ⟨j, _⟩ ⟨j, _⟩ j (𝟙 j) (𝟙 j)]	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ * 0 = 0
colimit_zero_eq _ j,	mk	Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ * AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ * 0 = 0
colimit_mul_mk_eq _ ⟨j, _⟩ ⟨j, _⟩ j (𝟙 j) (𝟙 j)	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ * AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩
rw [CategoryTheory.Functor.map_id]	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩
CategoryTheory.Functor.map_id	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩
dsimp	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, x * 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩
rw [mul_zero x]	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, x * 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩
mul_zero x	mk	MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩	J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, x * 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩
cases isEmpty_or_nonempty J	inl	IsEmpty J	J : Type v inst✝² : SmallCategory J F : J ⥤ CommRingCat inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J inst✝ : ∀ (i : J), Nontrivial (↑(F.obj i) : Type v) c : Cocone F hc : IsColimit c ⊢ Nontrivial (↑c.pt : Type v)
cases isEmpty_or_nonempty J	inr	Nonempty J	J : Type v inst✝² : SmallCategory J F : J ⥤ CommRingCat inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J inst✝ : ∀ (i : J), Nontrivial (↑(F.obj i) : Type v) c : Cocone F hc : IsColimit c h : IsEmpty J ⊢ Nontrivial (↑c.pt : Type v)
refine ⟨c.ι.app i 0, c.ι.app i 1, fun h ↦ ?_⟩	inr	(ConcreteCategory.hom (c.ι.app i) : (↑(F.obj i) : Type v) → (↑(((Functor.const J).obj c.pt).obj i) : Type v)) 0 = (ConcreteCategory.hom (c.ι.app i) : (↑(F.obj i) : Type v) → (↑(((Functor.const J).obj c.pt).obj i) : Type v)) 1 → False	J : Type v inst✝² : SmallCategory J F : J ⥤ CommRingCat inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J inst✝ : ∀ (i : J), Nontrivial (↑(F.obj i) : Type v) c : Cocone F hc : IsColimit c h✝ : Nonempty J i : J ⊢ Nontrivial (↑c.pt : Type v)
have : IsFiltered J := ⟨⟩	inr	IsFiltered J	J : Type v inst✝² : SmallCategory J F : J ⥤ CommRingCat inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J inst✝ : ∀ (i : J), Nontrivial (↑(F.obj i) : Type v) c : Cocone F hc : IsColimit c h✝ : Nonempty J i : J h : (ConcreteCategory.hom (c.ι.app i) : (↑(F.obj i) : Type v) → (↑(((Functor.const J).obj c.pt).obj i) : Type v)) 0 = (ConcreteCategory.hom (c.ι.app i) : (↑(F.obj i) : Type v) → (↑(((Functor.const J).obj c.pt).obj i) : Type v)) 1 ⊢ False
suffices this : (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1 by rwa [← inf_eq_right, ← mul_eq_left]	suffices	(a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1	α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ 1 ≤ a
← inf_eq_right,	this	a ⊓ 1 = 1	α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 this : (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1 ⊢ 1 ≤ a
← mul_eq_left	mul_eq_left	(a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1	α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 this : (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1 ⊢ a ⊓ 1 = 1
← mul_eq_left	mul_eq_left	α	α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 this : (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1 mul_eq_left : (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1 ⊢ a ⊓ 1 = 1
mul_inf,	this	(a ⊓ 1) * a ⊓ (a ⊓ 1) * 1 = a ⊓ 1	α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1
inf_mul,	this	a * a ⊓ 1 * a ⊓ (a ⊓ 1) * 1 = a ⊓ 1	α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ (a ⊓ 1) * a ⊓ (a ⊓ 1) * 1 = a ⊓ 1
← pow_two,	this	a ^ 2 ⊓ 1 * a ⊓ (a ⊓ 1) * 1 = a ⊓ 1	α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a * a ⊓ 1 * a ⊓ (a ⊓ 1) * 1 = a ⊓ 1
mul_one,	this	a ^ 2 ⊓ 1 * a ⊓ (a ⊓ 1) = a ⊓ 1	α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a ^ 2 ⊓ 1 * a ⊓ (a ⊓ 1) * 1 = a ⊓ 1
one_mul,	this	a ^ 2 ⊓ a ⊓ (a ⊓ 1) = a ⊓ 1	α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a ^ 2 ⊓ 1 * a ⊓ (a ⊓ 1) = a ⊓ 1
inf_assoc,	this	a ^ 2 ⊓ (a ⊓ (a ⊓ 1)) = a ⊓ 1	α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a ^ 2 ⊓ a ⊓ (a ⊓ 1) = a ⊓ 1
inf_left_idem,	this	a ^ 2 ⊓ (a ⊓ 1) = a ⊓ 1	α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a ^ 2 ⊓ (a ⊓ (a ⊓ 1)) = a ⊓ 1
inf_comm,	this	a ⊓ 1 ⊓ a ^ 2 = a ⊓ 1	α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a ^ 2 ⊓ (a ⊓ 1) = a ⊓ 1
inf_assoc,	this	a ⊓ (1 ⊓ a ^ 2) = a ⊓ 1	α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a ⊓ 1 ⊓ a ^ 2 = a ⊓ 1
inf_of_le_left ha	inf_of_le_left	a ⊓ 1 = a ⊓ 1	α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a ⊓ (1 ⊓ a ^ 2) = a ⊓ 1
mul_sup b⁻¹ a⁻¹ (a * b),	mul_sup	(a ⊓ b) * (a ⊔ b) = (a ⊓ b) * (a * b * b⁻¹ ⊔ a * b * a⁻¹)	α : Type u_1 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α a b : α ⊢ (a ⊓ b) * (a ⊔ b) = (a ⊓ b) * (a * b * (b⁻¹ ⊔ a⁻¹))
mul_inv_cancel_right,	this	(a ⊓ b) * (a ⊔ b) = (a ⊓ b) * (a ⊔ a * b * a⁻¹)	α : Type u_1 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α a b : α ⊢ (a ⊓ b) * (a ⊔ b) = (a ⊓ b) * (a * b * b⁻¹ ⊔ a * b * a⁻¹)
mul_inv_cancel_comm	mul_inv_cancel_comm	(a ⊓ b) * (a ⊔ b) = (a ⊓ b) * (a ⊔ b)	α : Type u_1 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α a b : α ⊢ (a ⊓ b) * (a ⊔ b) = (a ⊓ b) * (a ⊔ a * b * a⁻¹)
inv_inf,	this	(a ⊓ b) * (a * b * (b⁻¹ ⊔ a⁻¹)) = (a ⊓ b) * (a * b * (a⁻¹ ⊔ b⁻¹))	α : Type u_1 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α a b : α ⊢ (a ⊓ b) * (a * b * (b⁻¹ ⊔ a⁻¹)) = (a ⊓ b) * (a * b * (a ⊓ b)⁻¹)
sup_comm	sup_comm	(a ⊓ b) * (a * b * (a⁻¹ ⊔ b⁻¹)) = (a ⊓ b) * (a * b * (a⁻¹ ⊔ b⁻¹))	α : Type u_1 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α a b : α ⊢ (a ⊓ b) * (a * b * (b⁻¹ ⊔ a⁻¹)) = (a ⊓ b) * (a * b * (a⁻¹ ⊔ b⁻¹))
mul_comm,	this	a * b * (a ⊓ b)⁻¹ * (a ⊓ b) = a * b	α : Type u_1 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α a b : α ⊢ (a ⊓ b) * (a * b * (a ⊓ b)⁻¹) = a * b
inv_mul_cancel_right	inv_mul_cancel_right	a * b = a * b	α : Type u_1 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α a b : α ⊢ a * b * (a ⊓ b)⁻¹ * (a ⊓ b) = a * b
rw [← mul_le_mul_iff_left (x ⊓ (y ⊓ z)), inf_mul_sup x (y ⊓ z), ← inv_mul_le_iff_le_mul, le_inf_iff]	rw	x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y ∧ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ z	α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ (x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z) ≤ x ⊔ y ⊓ z
← mul_le_mul_iff_left (x ⊓ (y ⊓ z)),	mul_le_mul_iff_left	(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ (x ⊓ (y ⊓ z)) * (x ⊔ y ⊓ z)	α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ (x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z) ≤ x ⊔ y ⊓ z
inf_mul_sup x (y ⊓ z),	inf_mul_sup	(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ x * (y ⊓ z)	α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ (x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ (x ⊓ (y ⊓ z)) * (x ⊔ y ⊓ z)
← inv_mul_le_iff_le_mul,	this	x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y ⊓ z	α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ (x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ x * (y ⊓ z)
le_inf_iff	le_inf_iff	x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y ∧ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ z	α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y ⊓ z
constructor	left	x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y	α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y ∧ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ z
constructor	right	x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ z	α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α left : x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y ⊢ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y ∧ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ z
rw [inv_mul_le_iff_le_mul, ← inf_mul_sup x y]	left	(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ (x ⊓ y) * (x ⊔ y)	α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y
inv_mul_le_iff_le_mul,	left	(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ x * y	α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y
← inf_mul_sup x y	left	(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ (x ⊓ y) * (x ⊔ y)	α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ (x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ x * y
rw [inv_mul_le_iff_le_mul, ← inf_mul_sup x z]	right	(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ (x ⊓ z) * (x ⊔ z)	α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ z
inv_mul_le_iff_le_mul,	right	(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ x * z	α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ z
← inf_mul_sup x z	right	(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ (x ⊓ z) * (x ⊔ z)	α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ (x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ x * z
constructor	mp	Epi (ofHom (algebraMap R S)) → ∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s	R S : Type u inst✝² : CommRing R inst✝¹ : CommRing S inst✝ : Algebra R S ⊢ Epi (ofHom (algebraMap R S)) ↔ ∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s
constructor	mpr	(∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s) → Epi (ofHom (algebraMap R S))	R S : Type u inst✝² : CommRing R inst✝¹ : CommRing S inst✝ : Algebra R S mp : Epi (ofHom (algebraMap R S)) → ∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s ⊢ Epi (ofHom (algebraMap R S)) ↔ ∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s
have := H.1 (CommRingCat.ofHom <\| Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom (R := R)) (CommRingCat.ofHom <\| (Algebra.TensorProduct.includeRight (R := R) (A := S)).toRingHom) (by ext r; show algebraMap R S r ⊗ₜ 1 = 1 ⊗ₜ algebraMap R S r; simp only [Algebra.algebraMap_eq_smul_one, smul_tmul])	mp	ofHom Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom = ofHom Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom	R S : Type u inst✝² : CommRing R inst✝¹ : CommRing S inst✝ : Algebra R S H : Epi (ofHom (algebraMap R S)) ⊢ ∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s
ext r	hf	(Hom.hom (ofHom (algebraMap R S) ≫ ofHom Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom) : (↑(of R) : Type u) → (↑(of (S ⊗[R] S)) : Type u)) r = (Hom.hom (ofHom (algebraMap R S) ≫ ofHom Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom) : (↑(of R) : Type u) → (↑(of (S ⊗[R] S)) : Type u)) r	R S : Type u inst✝² : CommRing R inst✝¹ : CommRing S inst✝ : Algebra R S H : Epi (ofHom (algebraMap R S)) ⊢ ofHom (algebraMap R S) ≫ ofHom Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom = ofHom (algebraMap R S) ≫ ofHom Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
show algebraMap R S r ⊗ₜ 1 = 1 ⊗ₜ algebraMap R S r	hf	(algebraMap R S : R → S) r ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] (algebraMap R S : R → S) r	R S : Type u inst✝² : CommRing R inst✝¹ : CommRing S inst✝ : Algebra R S H : Epi (ofHom (algebraMap R S)) r : (↑(of R) : Type u) ⊢ (Hom.hom (ofHom (algebraMap R S) ≫ ofHom Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom) : (↑(of R) : Type u) → (↑(of (S ⊗[R] S)) : Type u)) r = (Hom.hom (ofHom (algebraMap R S) ≫ ofHom Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom) : (↑(of R) : Type u) → (↑(of (S ⊗[R] S)) : Type u)) r
refine fun H ↦ ⟨fun {T} f g e ↦ ?_⟩	mpr	(∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s) → ofHom (algebraMap R S) ≫ f = ofHom (algebraMap R S) ≫ g → f = g	R S : Type u inst✝² : CommRing R inst✝¹ : CommRing S inst✝ : Algebra R S ⊢ (∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s) → Epi (ofHom (algebraMap R S))
ext s	mpr	(Hom.hom f : (↑(of S) : Type u) → (↑T : Type u)) s = (Hom.hom g : (↑(of S) : Type u) → (↑T : Type u)) s	R S : Type u inst✝² : CommRing R inst✝¹ : CommRing S inst✝ : Algebra R S H : ∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s T : CommRingCat f g : of S ⟶ T e : ofHom (algebraMap R S) ≫ f = ofHom (algebraMap R S) ≫ g this : Algebra R (↑T : Type u) := (Hom.hom (ofHom (algebraMap R S) ≫ g)).toAlgebra f' : S →ₐ[R] (↑T : Type u) := { toRingHom := Hom.hom f, commutes' := ⋯ } g' : S →ₐ[R] (↑T : Type u) := { toRingHom := Hom.hom g, commutes' := ⋯ } ⊢ f = g
algebraize [f.hom]	algebraize	Module.Finite (↑R : Type u_1) (↑S : Type u_1)	R S : CommRingCat f : R ⟶ S inst✝ : Epi f h₂ : (CommRingCat.Hom.hom f).Finite ⊢ Function.Surjective (⇑(ConcreteCategory.hom f) : (↑R : Type u_1) → (↑S : Type u_1))
apply RingHom.surjective_of_tmul_eq_tmul_of_finite	h₁	∀ (s : (↑S : Type u_1)), s ⊗ₜ[(↑R : Type u_1)] 1 = 1 ⊗ₜ[(↑R : Type u_1)] s	R S : CommRingCat f : R ⟶ S inst✝ : Epi f h₂ : (CommRingCat.Hom.hom f).Finite algInst✝ : Algebra (↑R : Type u_1) (↑S : Type u_1) := (CommRingCat.Hom.hom f).toAlgebra algebraizeInst✝ : Module.Finite (↑R : Type u_1) (↑S : Type u_1) ⊢ Function.Surjective (⇑(ConcreteCategory.hom f) : (↑R : Type u_1) → (↑S : Type u_1))
← CommRingCat.epi_iff_tmul_eq_tmul	h₁	Epi (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R : Type u_1) (↑S : Type u_1)))	R S : CommRingCat f : R ⟶ S inst✝ : Epi f h₂ : (CommRingCat.Hom.hom f).Finite algInst✝ : Algebra (↑R : Type u_1) (↑S : Type u_1) := (CommRingCat.Hom.hom f).toAlgebra algebraizeInst✝ : Module.Finite (↑R : Type u_1) (↑S : Type u_1) ⊢ ∀ (s : (↑S : Type u_1)), s ⊗ₜ[(↑R : Type u_1)] 1 = 1 ⊗ₜ[(↑R : Type u_1)] s
cases p	mk	(∀ (c : R) {x : A}, x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier → c • x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier) → (fun s ↦ s.carrier) { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := sorry } = (fun s ↦ s.carrier) q → { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := sorry } = q	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R A inst✝¹ : Module R B inst✝ : Module R C p q : NonUnitalSubalgebra R A h : (fun s ↦ s.carrier) p = (fun s ↦ s.carrier) q ⊢ p = q
cases q	mk	(∀ (c : R) {x : A}, x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier → c • x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier) → (fun s ↦ s.carrier) { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝¹, smul_mem' := sorry } = (fun s ↦ s.carrier) { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := sorry } → { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝¹, smul_mem' := sorry } = { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := sorry }	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R A inst✝¹ : Module R B inst✝ : Module R C q : NonUnitalSubalgebra R A toNonUnitalSubsemiring✝ : NonUnitalSubsemiring A smul_mem'✝ : ∀ (c : R) {x : A}, x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier → c • x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier h : (fun s ↦ s.carrier) { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := smul_mem'✝ } = (fun s ↦ s.carrier) q ⊢ { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := smul_mem'✝ } = q
congr	mk	toNonUnitalSubsemiring✝¹ = toNonUnitalSubsemiring✝	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R A inst✝¹ : Module R B inst✝ : Module R C toNonUnitalSubsemiring✝¹ : NonUnitalSubsemiring A smul_mem'✝¹ : ∀ (c : R) {x : A}, x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝¹.carrier → c • x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝¹.carrier toNonUnitalSubsemiring✝ : NonUnitalSubsemiring A smul_mem'✝ : ∀ (c : R) {x : A}, x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier → c • x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier h : (fun s ↦ s.carrier) { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝¹, smul_mem' := smul_mem'✝¹ } = (fun s ↦ s.carrier) { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := smul_mem'✝ } ⊢ { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝¹, smul_mem' := smul_mem'✝¹ } = { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := smul_mem'✝ }
h	h	x ∈ T.toNonUnitalSubsemiring ↔ x ∈ T.toNonUnitalSubsemiring	R : Type u A : Type v inst✝² : CommSemiring R inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝ : Module R A S T : NonUnitalSubalgebra R A h : S.toNonUnitalSubsemiring = T.toNonUnitalSubsemiring x : A ⊢ x ∈ S.toNonUnitalSubsemiring ↔ x ∈ T.toNonUnitalSubsemiring
← mem_toSubmodule,	this	x ∈ S.toSubmodule ↔ x ∈ T	R : Type u A : Type v inst✝² : CommSemiring R inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝ : Module R A S T : NonUnitalSubalgebra R A h : S.toSubmodule = T.toSubmodule x : A ⊢ x ∈ S ↔ x ∈ T
← mem_toSubmodule,	this	x ∈ S.toSubmodule ↔ x ∈ T.toSubmodule	R : Type u A : Type v inst✝² : CommSemiring R inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝ : Module R A S T : NonUnitalSubalgebra R A h : S.toSubmodule = T.toSubmodule x : A ⊢ x ∈ S.toSubmodule ↔ x ∈ T
h	h	x ∈ T.toSubmodule ↔ x ∈ T.toSubmodule	R : Type u A : Type v inst✝² : CommSemiring R inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝ : Module R A S T : NonUnitalSubalgebra R A h : S.toSubmodule = T.toSubmodule x : A ⊢ x ∈ S.toSubmodule ↔ x ∈ T.toSubmodule
show r • a ∈ s	show	r • a ∈ s	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R A inst✝¹ : Module R B inst✝ : Module R C S : NonUnitalSubalgebra R A s : Set A hs : s = (↑S : Set A) r : R a : A ha : a ∈ s ⊢ r • a ∈ (S.copy s hs).carrier
rw [hs] at ha ⊢	rw	a ∈ (↑S : Set A) → r • a ∈ (↑S : Set A)	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R A inst✝¹ : Module R B inst✝ : Module R C S : NonUnitalSubalgebra R A s : Set A hs : s = (↑S : Set A) r : R a : A ha : a ∈ s ⊢ r • a ∈ s
hs	hs	a ∈ (↑S : Set A) → r • a ∈ (↑S : Set A)	F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R A inst✝¹ : Module R B inst✝ : Module R C S : NonUnitalSubalgebra R A s : Set A hs : s = (↑S : Set A) r : R a : A ha : a ∈ s ⊢ r • a ∈ s
← mem_toNonUnitalSubring,	this	x ∈ S.toNonUnitalSubring ↔ x ∈ T	R : Type u A : Type v inst✝² : CommRing R inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing A inst✝ : Module R A S T : NonUnitalSubalgebra R A h : S.toNonUnitalSubring = T.toNonUnitalSubring x : A ⊢ x ∈ S ↔ x ∈ T
← mem_toNonUnitalSubring,	this	x ∈ S.toNonUnitalSubring ↔ x ∈ T.toNonUnitalSubring	R : Type u A : Type v inst✝² : CommRing R inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing A inst✝ : Module R A S T : NonUnitalSubalgebra R A h : S.toNonUnitalSubring = T.toNonUnitalSubring x : A ⊢ x ∈ S.toNonUnitalSubring ↔ x ∈ T
h	h	x ∈ T.toNonUnitalSubring ↔ x ∈ T.toNonUnitalSubring	R : Type u A : Type v inst✝² : CommRing R inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing A inst✝ : Module R A S T : NonUnitalSubalgebra R A h : S.toNonUnitalSubring = T.toNonUnitalSubring x : A ⊢ x ∈ S.toNonUnitalSubring ↔ x ∈ T.toNonUnitalSubring
ext	h	x✝ ∈ (↑(NonUnitalAlgHom.range φ) : Set B) ↔ x✝ ∈ Set.range (⇑φ : A → B)	F : Type v' R : Type u A : Type v B : Type w inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁴ : Module R A inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝² : Module R B inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B φ : F ⊢ (↑(NonUnitalAlgHom.range φ) : Set B) = Set.range (⇑φ : A → B)

refine Quot.induction_on₃ x y z ?_

refine

∀ (a b c : (j : J) × ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j), Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) a * (Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) b + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) c) = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) a * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) b + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) a * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) c

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J x y z : (↑(R F) : Type (max u v)) ⊢ x * (y + z) = x * y + x * z

erw [colimit_add_mk_eq _ ⟨j₂, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k g h, colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨k, _⟩ k f (𝟙 k), colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨j₂, _⟩ k f g, colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k f h, colimit_add_mk_eq _ ⟨k, _⟩ ⟨k, _⟩ k (𝟙 k) (𝟙 k)]

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * (Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩) = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

colimit_add_mk_eq _ ⟨j₂, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k g h,

mk

Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * (Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩) = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨k, _⟩ k f (𝟙 k),

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨j₂, _⟩ k f g,

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k f h,

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩ + MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

colimit_add_mk_eq _ ⟨k, _⟩ ⟨k, _⟩ k (𝟙 k) (𝟙 k)

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩ + MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩

simp only [CategoryTheory.Functor.map_id, id_apply]

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) y + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩

erw [left_distrib (F.map f x) (F.map g y) (F.map h z)]

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (F.map f) : (↑(F.obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (F.map g) : (↑(F.obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) y + (ConcreteCategory.hom (F.map f) : (↑(F.obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (F.map h) : (↑(F.obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) z⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) y + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩

left_distrib (F.map f x) (F.map g y) (F.map h z)

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (F.map f) : (↑(F.obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (F.map g) : (↑(F.obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) y + (ConcreteCategory.hom (F.map f) : (↑(F.obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (F.map h) : (↑(F.obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) z⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) y + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map h) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩

refine Quot.induction_on₃ x y z ?_

refine

∀ (a b c : (j : J) × ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j), (Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) a + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) b) * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) c = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) a * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) c + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) b * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) c

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J x y z : (↑(R F) : Type (max u v)) ⊢ (x + y) * z = x * z + y * z

erw [colimit_add_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨j₂, _⟩ k f g, colimit_mul_mk_eq _ ⟨k, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k (𝟙 k) h, colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k f h, colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₂, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k g h, colimit_add_mk_eq _ ⟨k, _⟩ ⟨k, _⟩ k (𝟙 k) (𝟙 k)]

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ (Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩) * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

colimit_add_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨j₂, _⟩ k f g,

mk

AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ (Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩) * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

colimit_mul_mk_eq _ ⟨k, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k (𝟙 k) h,

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₁, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k f h,

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₁, x⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

colimit_mul_mk_eq _ ⟨j₂, _⟩ ⟨j₃, _⟩ k g h,

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ + MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ + Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₂, y⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j₃, z⟩

colimit_add_mk_eq _ ⟨k, _⟩ ⟨k, _⟩ k (𝟙 k) (𝟙 k)

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ + MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩

simp only [CategoryTheory.Functor.map_id, id_apply]

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) x + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) y) * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₁, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₁, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map (𝟙 k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨k, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₂, y⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₂, y⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j₃, z⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ⟨j₃, z⟩.snd⟩.snd⟩

erw [right_distrib (F.map f x) (F.map g y) (F.map h z)]

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (F.map f) : (↑(F.obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (F.map h) : (↑(F.obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) z + (ConcreteCategory.hom (F.map g) : (↑(F.obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) y * (ConcreteCategory.hom (F.map h) : (↑(F.obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) z⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) x + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) y) * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩

right_distrib (F.map f x) (F.map g y) (F.map h z)

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (F.map f) : (↑(F.obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom (F.map h) : (↑(F.obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) z + (ConcreteCategory.hom (F.map g) : (↑(F.obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) y * (ConcreteCategory.hom (F.map h) : (↑(F.obj j₃) : Type (max u v)) → (↑(F.obj (IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃)) : Type (max u v))) z⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j₁ : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₁ j₂ : J y : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₂ j₃ : J z : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j₃ k : J := IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ f : j₁ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.firstToMax₃ j₁ j₂ j₃ g : j₂ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.secondToMax₃ j₁ j₂ j₃ h : j₃ ⟶ IsFiltered.max₃ j₁ j₂ j₃ := IsFiltered.thirdToMax₃ j₁ j₂ j₃ ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map f) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) x + (ConcreteCategory.hom (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).map g) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) y) * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨k, (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map f) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₁) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) x * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z) + (ConcreteCategory.hom (𝟙 (((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k)) : (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v)) → (↑(((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat).obj k) : Type (max u v))) ((ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map g) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₂) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) y * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map h) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j₃) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj k) : Type (max u v))) z)⟩

refine Quot.inductionOn x ?_

refine

∀ (a : (j : J) × ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j), 0 * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) a = 0

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J x : (↑(R F) : Type (max u v)) ⊢ 0 * x = 0

erw [colimit_zero_eq _ j, colimit_mul_mk_eq _ ⟨j, _⟩ ⟨j, _⟩ j (𝟙 j) (𝟙 j)]

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ 0 * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ = 0

colimit_zero_eq _ j,

mk

AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ 0 * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ = 0

colimit_mul_mk_eq _ ⟨j, _⟩ ⟨j, _⟩ j (𝟙 j) (𝟙 j)

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩ * Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

rw [CategoryTheory.Functor.map_id]

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

CategoryTheory.Functor.map_id

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

dsimp

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, 0 * x⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

rw [zero_mul x]

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, 0 * x⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

zero_mul x

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, 0 * x⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

refine Quot.inductionOn x ?_

refine

∀ (a : (j : J) × ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j), Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) a * 0 = 0

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J x : (↑(R F) : Type (max u v)) ⊢ x * 0 = 0

erw [colimit_zero_eq _ j, colimit_mul_mk_eq _ ⟨j, _⟩ ⟨j, _⟩ j (𝟙 j) (𝟙 j)]

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ * 0 = 0

colimit_zero_eq _ j,

mk

Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ * AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ * 0 = 0

colimit_mul_mk_eq _ ⟨j, _⟩ ⟨j, _⟩ j (𝟙 j) (𝟙 j)

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ Quot.mk (Types.Quot.Rel ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat)) ⟨j, x⟩ * AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

rw [CategoryTheory.Functor.map_id]

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

CategoryTheory.Functor.map_id

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).map (𝟙 j)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

dsimp

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, x * 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, x⟩.snd * (ConcreteCategory.hom (𝟙 ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, x⟩.fst)) : (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj ⟨j, 0⟩.fst) : Type (max u v)) → (↑((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat).obj j) : Type (max u v))) ⟨j, 0⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

rw [mul_zero x]

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, x * 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

mul_zero x

mk

MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

J : Type v inst✝¹ : SmallCategory J F : J ⥤ SemiRingCat inst✝ : IsFiltered J j : J x : ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⋙ forget MonCat).obj j ⊢ MonCat.FilteredColimits.M.mk (F ⋙ forget₂ SemiRingCat MonCat) ⟨j, x * 0⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk ((F ⋙ forget₂ SemiRingCat AddCommMonCat) ⋙ forget₂ AddCommMonCat AddMonCat) ⟨j, 0⟩

cases isEmpty_or_nonempty J

inl

IsEmpty J

J : Type v inst✝² : SmallCategory J F : J ⥤ CommRingCat inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J inst✝ : ∀ (i : J), Nontrivial (↑(F.obj i) : Type v) c : Cocone F hc : IsColimit c ⊢ Nontrivial (↑c.pt : Type v)

cases isEmpty_or_nonempty J

inr

Nonempty J

J : Type v inst✝² : SmallCategory J F : J ⥤ CommRingCat inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J inst✝ : ∀ (i : J), Nontrivial (↑(F.obj i) : Type v) c : Cocone F hc : IsColimit c h : IsEmpty J ⊢ Nontrivial (↑c.pt : Type v)

refine ⟨c.ι.app i 0, c.ι.app i 1, fun h ↦ ?_⟩

inr

(ConcreteCategory.hom (c.ι.app i) : (↑(F.obj i) : Type v) → (↑(((Functor.const J).obj c.pt).obj i) : Type v)) 0 = (ConcreteCategory.hom (c.ι.app i) : (↑(F.obj i) : Type v) → (↑(((Functor.const J).obj c.pt).obj i) : Type v)) 1 → False

J : Type v inst✝² : SmallCategory J F : J ⥤ CommRingCat inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J inst✝ : ∀ (i : J), Nontrivial (↑(F.obj i) : Type v) c : Cocone F hc : IsColimit c h✝ : Nonempty J i : J ⊢ Nontrivial (↑c.pt : Type v)

have : IsFiltered J := ⟨⟩

inr

IsFiltered J

J : Type v inst✝² : SmallCategory J F : J ⥤ CommRingCat inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J inst✝ : ∀ (i : J), Nontrivial (↑(F.obj i) : Type v) c : Cocone F hc : IsColimit c h✝ : Nonempty J i : J h : (ConcreteCategory.hom (c.ι.app i) : (↑(F.obj i) : Type v) → (↑(((Functor.const J).obj c.pt).obj i) : Type v)) 0 = (ConcreteCategory.hom (c.ι.app i) : (↑(F.obj i) : Type v) → (↑(((Functor.const J).obj c.pt).obj i) : Type v)) 1 ⊢ False

suffices this : (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1 by rwa [← inf_eq_right, ← mul_eq_left]

suffices

(a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1

α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ 1 ≤ a

← inf_eq_right,

this

a ⊓ 1 = 1

α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 this : (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1 ⊢ 1 ≤ a

← mul_eq_left

mul_eq_left

(a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1

α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 this : (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1 ⊢ a ⊓ 1 = 1

← mul_eq_left

mul_eq_left

α

α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 this : (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1 mul_eq_left : (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1 ⊢ a ⊓ 1 = 1

mul_inf,

this

(a ⊓ 1) * a ⊓ (a ⊓ 1) * 1 = a ⊓ 1

α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1

inf_mul,

this

a * a ⊓ 1 * a ⊓ (a ⊓ 1) * 1 = a ⊓ 1

α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ (a ⊓ 1) * a ⊓ (a ⊓ 1) * 1 = a ⊓ 1

← pow_two,

this

a ^ 2 ⊓ 1 * a ⊓ (a ⊓ 1) * 1 = a ⊓ 1

α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a * a ⊓ 1 * a ⊓ (a ⊓ 1) * 1 = a ⊓ 1

mul_one,

this

a ^ 2 ⊓ 1 * a ⊓ (a ⊓ 1) = a ⊓ 1

α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a ^ 2 ⊓ 1 * a ⊓ (a ⊓ 1) * 1 = a ⊓ 1

one_mul,

this

a ^ 2 ⊓ a ⊓ (a ⊓ 1) = a ⊓ 1

α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a ^ 2 ⊓ 1 * a ⊓ (a ⊓ 1) = a ⊓ 1

inf_assoc,

this

a ^ 2 ⊓ (a ⊓ (a ⊓ 1)) = a ⊓ 1

α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a ^ 2 ⊓ a ⊓ (a ⊓ 1) = a ⊓ 1

inf_left_idem,

this

a ^ 2 ⊓ (a ⊓ 1) = a ⊓ 1

α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a ^ 2 ⊓ (a ⊓ (a ⊓ 1)) = a ⊓ 1

inf_comm,

this

a ⊓ 1 ⊓ a ^ 2 = a ⊓ 1

α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a ^ 2 ⊓ (a ⊓ 1) = a ⊓ 1

inf_assoc,

this

a ⊓ (1 ⊓ a ^ 2) = a ⊓ 1

α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a ⊓ 1 ⊓ a ^ 2 = a ⊓ 1

inf_of_le_left ha

inf_of_le_left

a ⊓ 1 = a ⊓ 1

α : Type u_1 inst✝³ : Lattice α inst✝² : Group α inst✝¹ : MulLeftMono α inst✝ : MulRightMono α a : α ha : 1 ≤ a ^ 2 ⊢ a ⊓ (1 ⊓ a ^ 2) = a ⊓ 1

mul_sup b⁻¹ a⁻¹ (a * b),

mul_sup

(a ⊓ b) * (a ⊔ b) = (a ⊓ b) * (a * b * b⁻¹ ⊔ a * b * a⁻¹)

α : Type u_1 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α a b : α ⊢ (a ⊓ b) * (a ⊔ b) = (a ⊓ b) * (a * b * (b⁻¹ ⊔ a⁻¹))

mul_inv_cancel_right,

this

(a ⊓ b) * (a ⊔ b) = (a ⊓ b) * (a ⊔ a * b * a⁻¹)

α : Type u_1 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α a b : α ⊢ (a ⊓ b) * (a ⊔ b) = (a ⊓ b) * (a * b * b⁻¹ ⊔ a * b * a⁻¹)

mul_inv_cancel_comm

(a ⊓ b) * (a ⊔ b) = (a ⊓ b) * (a ⊔ b)

α : Type u_1 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α a b : α ⊢ (a ⊓ b) * (a ⊔ b) = (a ⊓ b) * (a ⊔ a * b * a⁻¹)

inv_inf,

this

(a ⊓ b) * (a * b * (b⁻¹ ⊔ a⁻¹)) = (a ⊓ b) * (a * b * (a⁻¹ ⊔ b⁻¹))

α : Type u_1 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α a b : α ⊢ (a ⊓ b) * (a * b * (b⁻¹ ⊔ a⁻¹)) = (a ⊓ b) * (a * b * (a ⊓ b)⁻¹)

sup_comm

(a ⊓ b) * (a * b * (a⁻¹ ⊔ b⁻¹)) = (a ⊓ b) * (a * b * (a⁻¹ ⊔ b⁻¹))

α : Type u_1 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α a b : α ⊢ (a ⊓ b) * (a * b * (b⁻¹ ⊔ a⁻¹)) = (a ⊓ b) * (a * b * (a⁻¹ ⊔ b⁻¹))

mul_comm,

this

a * b * (a ⊓ b)⁻¹ * (a ⊓ b) = a * b

α : Type u_1 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α a b : α ⊢ (a ⊓ b) * (a * b * (a ⊓ b)⁻¹) = a * b

inv_mul_cancel_right

a * b = a * b

α : Type u_1 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α a b : α ⊢ a * b * (a ⊓ b)⁻¹ * (a ⊓ b) = a * b

rw [← mul_le_mul_iff_left (x ⊓ (y ⊓ z)), inf_mul_sup x (y ⊓ z), ← inv_mul_le_iff_le_mul, le_inf_iff]

rw

x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y ∧ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ z

α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ (x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z) ≤ x ⊔ y ⊓ z

← mul_le_mul_iff_left (x ⊓ (y ⊓ z)),

mul_le_mul_iff_left

(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ (x ⊓ (y ⊓ z)) * (x ⊔ y ⊓ z)

α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ (x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z) ≤ x ⊔ y ⊓ z

inf_mul_sup x (y ⊓ z),

inf_mul_sup

(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ x * (y ⊓ z)

α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ (x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ (x ⊓ (y ⊓ z)) * (x ⊔ y ⊓ z)

← inv_mul_le_iff_le_mul,

this

x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y ⊓ z

α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ (x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ x * (y ⊓ z)

le_inf_iff

x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y ∧ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ z

α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y ⊓ z

constructor

left

x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y

α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y ∧ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ z

constructor

right

x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ z

α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α left : x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y ⊢ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y ∧ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ z

rw [inv_mul_le_iff_le_mul, ← inf_mul_sup x y]

left

(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ (x ⊓ y) * (x ⊔ y)

α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y

inv_mul_le_iff_le_mul,

left

(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ x * y

α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ y

← inf_mul_sup x y

left

(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ (x ⊓ y) * (x ⊔ y)

α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ (x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ x * y

rw [inv_mul_le_iff_le_mul, ← inf_mul_sup x z]

right

(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ (x ⊓ z) * (x ⊔ z)

α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ z

inv_mul_le_iff_le_mul,

right

(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ x * z

α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ x⁻¹ * ((x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z))) ≤ z

← inf_mul_sup x z

right

(x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ (x ⊓ z) * (x ⊔ z)

α✝ : Type u_1 inst✝⁴ : Lattice α✝ inst✝³ : CommGroup α✝ α : Type u_2 inst✝² : Lattice α inst✝¹ : CommGroup α inst✝ : MulLeftMono α x y z : α ⊢ (x ⊓ (y ⊓ z)) * ((x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z)) ≤ x * z

constructor

mp

Epi (ofHom (algebraMap R S)) → ∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s

R S : Type u inst✝² : CommRing R inst✝¹ : CommRing S inst✝ : Algebra R S ⊢ Epi (ofHom (algebraMap R S)) ↔ ∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s

constructor

mpr

(∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s) → Epi (ofHom (algebraMap R S))

R S : Type u inst✝² : CommRing R inst✝¹ : CommRing S inst✝ : Algebra R S mp : Epi (ofHom (algebraMap R S)) → ∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s ⊢ Epi (ofHom (algebraMap R S)) ↔ ∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s

have := H.1 (CommRingCat.ofHom <| Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom (R := R)) (CommRingCat.ofHom <| (Algebra.TensorProduct.includeRight (R := R) (A := S)).toRingHom) (by ext r; show algebraMap R S r ⊗ₜ 1 = 1 ⊗ₜ algebraMap R S r; simp only [Algebra.algebraMap_eq_smul_one, smul_tmul])

mp

ofHom Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom = ofHom Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom

R S : Type u inst✝² : CommRing R inst✝¹ : CommRing S inst✝ : Algebra R S H : Epi (ofHom (algebraMap R S)) ⊢ ∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s

ext r

hf

(Hom.hom (ofHom (algebraMap R S) ≫ ofHom Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom) : (↑(of R) : Type u) → (↑(of (S ⊗[R] S)) : Type u)) r = (Hom.hom (ofHom (algebraMap R S) ≫ ofHom Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom) : (↑(of R) : Type u) → (↑(of (S ⊗[R] S)) : Type u)) r

R S : Type u inst✝² : CommRing R inst✝¹ : CommRing S inst✝ : Algebra R S H : Epi (ofHom (algebraMap R S)) ⊢ ofHom (algebraMap R S) ≫ ofHom Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom = ofHom (algebraMap R S) ≫ ofHom Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom

show algebraMap R S r ⊗ₜ 1 = 1 ⊗ₜ algebraMap R S r

hf

(algebraMap R S : R → S) r ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] (algebraMap R S : R → S) r

R S : Type u inst✝² : CommRing R inst✝¹ : CommRing S inst✝ : Algebra R S H : Epi (ofHom (algebraMap R S)) r : (↑(of R) : Type u) ⊢ (Hom.hom (ofHom (algebraMap R S) ≫ ofHom Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom) : (↑(of R) : Type u) → (↑(of (S ⊗[R] S)) : Type u)) r = (Hom.hom (ofHom (algebraMap R S) ≫ ofHom Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom) : (↑(of R) : Type u) → (↑(of (S ⊗[R] S)) : Type u)) r

refine fun H ↦ ⟨fun {T} f g e ↦ ?_⟩

mpr

(∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s) → ofHom (algebraMap R S) ≫ f = ofHom (algebraMap R S) ≫ g → f = g

R S : Type u inst✝² : CommRing R inst✝¹ : CommRing S inst✝ : Algebra R S ⊢ (∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s) → Epi (ofHom (algebraMap R S))

ext s

mpr

(Hom.hom f : (↑(of S) : Type u) → (↑T : Type u)) s = (Hom.hom g : (↑(of S) : Type u) → (↑T : Type u)) s

R S : Type u inst✝² : CommRing R inst✝¹ : CommRing S inst✝ : Algebra R S H : ∀ (s : S), s ⊗ₜ[R] 1 = 1 ⊗ₜ[R] s T : CommRingCat f g : of S ⟶ T e : ofHom (algebraMap R S) ≫ f = ofHom (algebraMap R S) ≫ g this : Algebra R (↑T : Type u) := (Hom.hom (ofHom (algebraMap R S) ≫ g)).toAlgebra f' : S →ₐ[R] (↑T : Type u) := { toRingHom := Hom.hom f, commutes' := ⋯ } g' : S →ₐ[R] (↑T : Type u) := { toRingHom := Hom.hom g, commutes' := ⋯ } ⊢ f = g

algebraize [f.hom]

algebraize

Module.Finite (↑R : Type u_1) (↑S : Type u_1)

R S : CommRingCat f : R ⟶ S inst✝ : Epi f h₂ : (CommRingCat.Hom.hom f).Finite ⊢ Function.Surjective (⇑(ConcreteCategory.hom f) : (↑R : Type u_1) → (↑S : Type u_1))

apply RingHom.surjective_of_tmul_eq_tmul_of_finite

h₁

∀ (s : (↑S : Type u_1)), s ⊗ₜ[(↑R : Type u_1)] 1 = 1 ⊗ₜ[(↑R : Type u_1)] s

R S : CommRingCat f : R ⟶ S inst✝ : Epi f h₂ : (CommRingCat.Hom.hom f).Finite algInst✝ : Algebra (↑R : Type u_1) (↑S : Type u_1) := (CommRingCat.Hom.hom f).toAlgebra algebraizeInst✝ : Module.Finite (↑R : Type u_1) (↑S : Type u_1) ⊢ Function.Surjective (⇑(ConcreteCategory.hom f) : (↑R : Type u_1) → (↑S : Type u_1))

← CommRingCat.epi_iff_tmul_eq_tmul

h₁

Epi (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R : Type u_1) (↑S : Type u_1)))

R S : CommRingCat f : R ⟶ S inst✝ : Epi f h₂ : (CommRingCat.Hom.hom f).Finite algInst✝ : Algebra (↑R : Type u_1) (↑S : Type u_1) := (CommRingCat.Hom.hom f).toAlgebra algebraizeInst✝ : Module.Finite (↑R : Type u_1) (↑S : Type u_1) ⊢ ∀ (s : (↑S : Type u_1)), s ⊗ₜ[(↑R : Type u_1)] 1 = 1 ⊗ₜ[(↑R : Type u_1)] s

cases p

mk

(∀ (c : R) {x : A}, x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier → c • x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier) → (fun s ↦ s.carrier) { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := sorry } = (fun s ↦ s.carrier) q → { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := sorry } = q

F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R A inst✝¹ : Module R B inst✝ : Module R C p q : NonUnitalSubalgebra R A h : (fun s ↦ s.carrier) p = (fun s ↦ s.carrier) q ⊢ p = q

cases q

mk

(∀ (c : R) {x : A}, x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier → c • x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier) → (fun s ↦ s.carrier) { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝¹, smul_mem' := sorry } = (fun s ↦ s.carrier) { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := sorry } → { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝¹, smul_mem' := sorry } = { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := sorry }

F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R A inst✝¹ : Module R B inst✝ : Module R C q : NonUnitalSubalgebra R A toNonUnitalSubsemiring✝ : NonUnitalSubsemiring A smul_mem'✝ : ∀ (c : R) {x : A}, x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier → c • x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier h : (fun s ↦ s.carrier) { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := smul_mem'✝ } = (fun s ↦ s.carrier) q ⊢ { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := smul_mem'✝ } = q

congr

mk

toNonUnitalSubsemiring✝¹ = toNonUnitalSubsemiring✝

F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R A inst✝¹ : Module R B inst✝ : Module R C toNonUnitalSubsemiring✝¹ : NonUnitalSubsemiring A smul_mem'✝¹ : ∀ (c : R) {x : A}, x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝¹.carrier → c • x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝¹.carrier toNonUnitalSubsemiring✝ : NonUnitalSubsemiring A smul_mem'✝ : ∀ (c : R) {x : A}, x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier → c • x ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier h : (fun s ↦ s.carrier) { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝¹, smul_mem' := smul_mem'✝¹ } = (fun s ↦ s.carrier) { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := smul_mem'✝ } ⊢ { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝¹, smul_mem' := smul_mem'✝¹ } = { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, smul_mem' := smul_mem'✝ }

h

x ∈ T.toNonUnitalSubsemiring ↔ x ∈ T.toNonUnitalSubsemiring

R : Type u A : Type v inst✝² : CommSemiring R inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝ : Module R A S T : NonUnitalSubalgebra R A h : S.toNonUnitalSubsemiring = T.toNonUnitalSubsemiring x : A ⊢ x ∈ S.toNonUnitalSubsemiring ↔ x ∈ T.toNonUnitalSubsemiring

← mem_toSubmodule,

this

x ∈ S.toSubmodule ↔ x ∈ T

R : Type u A : Type v inst✝² : CommSemiring R inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝ : Module R A S T : NonUnitalSubalgebra R A h : S.toSubmodule = T.toSubmodule x : A ⊢ x ∈ S ↔ x ∈ T

← mem_toSubmodule,

this

x ∈ S.toSubmodule ↔ x ∈ T.toSubmodule

R : Type u A : Type v inst✝² : CommSemiring R inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝ : Module R A S T : NonUnitalSubalgebra R A h : S.toSubmodule = T.toSubmodule x : A ⊢ x ∈ S.toSubmodule ↔ x ∈ T

h

x ∈ T.toSubmodule ↔ x ∈ T.toSubmodule

R : Type u A : Type v inst✝² : CommSemiring R inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝ : Module R A S T : NonUnitalSubalgebra R A h : S.toSubmodule = T.toSubmodule x : A ⊢ x ∈ S.toSubmodule ↔ x ∈ T.toSubmodule

show r • a ∈ s

show

r • a ∈ s

F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R A inst✝¹ : Module R B inst✝ : Module R C S : NonUnitalSubalgebra R A s : Set A hs : s = (↑S : Set A) r : R a : A ha : a ∈ s ⊢ r • a ∈ (S.copy s hs).carrier

rw [hs] at ha ⊢

rw

a ∈ (↑S : Set A) → r • a ∈ (↑S : Set A)

F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R A inst✝¹ : Module R B inst✝ : Module R C S : NonUnitalSubalgebra R A s : Set A hs : s = (↑S : Set A) r : R a : A ha : a ∈ s ⊢ r • a ∈ s

hs

a ∈ (↑S : Set A) → r • a ∈ (↑S : Set A)

F : Type v' R' : Type u' R : Type u A : Type v B : Type w C : Type w' inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C inst✝² : Module R A inst✝¹ : Module R B inst✝ : Module R C S : NonUnitalSubalgebra R A s : Set A hs : s = (↑S : Set A) r : R a : A ha : a ∈ s ⊢ r • a ∈ s

← mem_toNonUnitalSubring,

this

x ∈ S.toNonUnitalSubring ↔ x ∈ T

R : Type u A : Type v inst✝² : CommRing R inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing A inst✝ : Module R A S T : NonUnitalSubalgebra R A h : S.toNonUnitalSubring = T.toNonUnitalSubring x : A ⊢ x ∈ S ↔ x ∈ T

← mem_toNonUnitalSubring,

this

x ∈ S.toNonUnitalSubring ↔ x ∈ T.toNonUnitalSubring

R : Type u A : Type v inst✝² : CommRing R inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing A inst✝ : Module R A S T : NonUnitalSubalgebra R A h : S.toNonUnitalSubring = T.toNonUnitalSubring x : A ⊢ x ∈ S.toNonUnitalSubring ↔ x ∈ T

h

x ∈ T.toNonUnitalSubring ↔ x ∈ T.toNonUnitalSubring

R : Type u A : Type v inst✝² : CommRing R inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing A inst✝ : Module R A S T : NonUnitalSubalgebra R A h : S.toNonUnitalSubring = T.toNonUnitalSubring x : A ⊢ x ∈ S.toNonUnitalSubring ↔ x ∈ T.toNonUnitalSubring

ext

h

x✝ ∈ (↑(NonUnitalAlgHom.range φ) : Set B) ↔ x✝ ∈ Set.range (⇑φ : A → B)

F : Type v' R : Type u A : Type v B : Type w inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A inst✝⁴ : Module R A inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B inst✝² : Module R B inst✝¹ : FunLike F A B inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B φ : F ⊢ (↑(NonUnitalAlgHom.range φ) : Set B) = Set.range (⇑φ : A → B)

Datasets:

UnluckyOrangutan
/

tactic-haveDraft8

Dataset Card for "tactic-haveDraft8"